Untergruppe zeigen

12.11.2013, 10:12

Grüppchen

Untergruppe zeigen

Hi;

Sei G eine Gruppe, S eine Teilmenge von G und $\begin{eqnarray*} [S] := \{a_1 \cdot a_2 ... \cdot a_n ; n\in\mathbb{N}, a_i\in S \vee a_i^{-1} \in S \} \end{eqnarray*}$ .

Zeige: [S] ist die kleinste Untergruppe von G.

Hierfür muss ich ja erstmal zeigen ,dass [S]eine Untergruppe von G ist, d.h.:

1.) Für alle x,y aus [S] ist auch x*y in [S].
Beweis:
Sei x in [S], dann ist $\begin{eqnarray*} x = a_1 * a_2 ... a*_n \end{eqnarray*}$
( mit den oben für [S] gegebenen Bedingungen )
Sei y in [S], dann ist $\begin{eqnarray*} y = a_m * ... * a_k \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} m, k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ...)

Dann ist $\begin{eqnarray*} x * y = a_1 * ... a_n * a_m * ... * a_k \end{eqnarray*}$ , bestehend aus zwei endlichen Produkten und ist daher in [S] enthalten.

verwirrt

Wie bringe ich diese Bedingung $\begin{eqnarray*} a_i \in [S] \vee a_i^{-1} \in [S] \end{eqnarray*}$ unter?

2.) Das neutrale Element von G ist auch in [S]enthalten.
Dieses neutrale Element ist die 1, denn

$\begin{eqnarray*} (a_1 * ...* a_n ) * 1 = (a_1 * ... a_n ) \end{eqnarray*}$ (gleiches gilt für die Produkte aus Inversen)

3.) Es existiert für jedes Element x aus [S] auch ein Inverses Element y aus [S] mit der Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray*} x * y = y * x = 1 \end{eqnarray*}$ .

sei $\begin{eqnarray*} x = a_1 * ... a_n \end{eqnarray*}$
setze $\begin{eqnarray*} y = a_1^{-1} * ... * a_n^{-1} \end{eqnarray*}$
dann ist
$\begin{eqnarray*} a * b = (a_1 * ... * a_n) * (a_1^{-1}* ... * a_n^{-1}) = (a_1 * a_1^{-1} ) * ... * (a_n * a_n^{-1}) = 1 \end{eqnarray*}$

Passt das?

12.11.2013, 12:30

RavenOnJ

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RE: Untergruppe zeigen

Zitat:

Original von Grüppchen

sei $\begin{eqnarray*} x = a_1 * ... a_n \end{eqnarray*}$
setze $\begin{eqnarray*} y = a_1^{-1} * ... * a_n^{-1} \end{eqnarray*}$
dann ist
$\begin{eqnarray*} a * b = (a_1 * ... * a_n) * (a_1^{-1}* ... * a_n^{-1}) = (a_1 * a_1^{-1} ) * ... * (a_n * a_n^{-1}) = 1 \end{eqnarray*}$

Was du da machst, geht nicht. Es ist nirgends gesagt, dass die Elemente der Gruppe kommutieren, dass die Gruppe also abelsch ist. Das Inverse Element von $\begin{eqnarray*} x := a_1 \cdot \cdots\cdot a_n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x^{-1} = a_n^{-1} \cdot \cdots\cdot a_1^{-1} \end{eqnarray*}$ .

15.11.2013, 08:12

Grüppchen

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RE: Untergruppe zeigen

Zitat:

Original von RavenOnJ

Zitat:

Und mehr muss ich nicht zeigen?

15.11.2013, 08:24

RavenOnJ

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Du hast doch bisher eigentlich gar nichts gezeigt, weder dass [S] Untergruppe ist, noch dass es die kleinste Unterguppe ist. Was soll überhaupt "kleinste Untergruppe" heißen? Da fehlt wohl was. Vemutlich ist zu zeigen, dass [S] die kleinste UG ist, die S enthält. Die kleinte UG ist nämlich die 1.

15.11.2013, 11:26

Grüppchen

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Nochmal von vorn:

1.) Ich zeige, dass [S] eine Untergruppe von G ist.
a) ich zeige: $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in [S] : x*y \in [S] \end{eqnarray*}$
Setze $\begin{eqnarray*} x = a_1 * ... * a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = b_1 * ... * b_m \end{eqnarray*}$ . (n, m sind natürliche Zahlen)

Zu zeigen ist also, dass
$\begin{eqnarray*} x * y = (a_1 * ... * a_n) * (b_1 * ... * b_m) \end{eqnarray*}$ in [S] liegt.
-> Ich erhalte ein Produkt aus (m+n) Faktoren, d.h. ein endliches Produkt.
-> Muss ich das beweisen? Wie mache ich das? verwirrt

Weiterhin müsste ich doch aber auch zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} x * y^{-1} = (a_1 * ... * a_n) * (b_1^{-1} * ... * b_m^{-1}) \end{eqnarray*}$ in [S] liegt, oder?
-> auch hier gilt wieder, dass ich ein Produkt aus n-Faktoren und eines aus m-Inversen habe. Die Bedingung (jeder Faktor ist eine natürliche Zahl oder ein Inverses dieser natürlicne Zahl) ist also erfüllt

b) ich zeige: zu jedem x aus [S] gibt es ein y in [S] sodass y das Inverse zu x ist.

sei $\begin{eqnarray*} x = a_1 * ... * a_n \end{eqnarray*}$ aus [S]. Dann existiert in [S] auch ein $\begin{eqnarray*} y = x^{-1} = (a_1 * ... * a_n)^{-1} = a_1^{-1} * a_2^{-1}... * a_n^{-1} \end{eqnarray*}$ . Dies ist der Fall, da laut Definition von [S] in jedem endlichen Produkt statt $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ auch das Element $\begin{eqnarray*} a_i^{-1} \end{eqnarray*}$ ein Faktor sein kann.

Das wars soweit.

2.) Ich zeige nun, (wie RavenOnJ schreibt smile

dass [S] die kleinste UG ist die S enthält.

...... ? wie stellt man das an?

15.11.2013, 11:33

RavenOnJ

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Du hast meinen ersten Einwand immer noch nicht berücksichtigt: Da die Gruppe nicht unbedingt abelsch ist, musst du das Inverse von x anders darstellen, also bei $\begin{eqnarray*} x^{-1} = (a_1 * ... * a_n)^{-1} {\color{red} = a_1^{-1} * a_2^{-1}... * a_n^{-1}} \end{eqnarray*}$ ist das Rote falsch! Die Reihenfolge der Elemente ist umgekehrt.

15.11.2013, 11:37

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Grüppchen
Die Bedingung (jeder Faktor ist eine natürliche Zahl oder ein Inverses dieser natürlicne Zahl) ist also erfüllt

Wer sagt denn, dass es sich bei den Gruppenelementen um natürliche Zahlen handelt? Steht nirgends. G soll irgendeine Gruppe sein, keine weiteren Bedingungen.

15.11.2013, 11:52

Grüppchen

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Du hast meinen ersten Einwand immer noch nicht berücksichtigt: Da die Gruppe nicht unbedingt abelsch ist, musst du das Inverse von x anders darstellen, also bei $\begin{eqnarray*} x^{-1} = (a_1 * ... * a_n)^{-1} {\color{red} = a_1^{-1} * a_2^{-1}... * a_n^{-1}} \end{eqnarray*}$ ist das Rote falsch! Die Reihenfolge der Elemente ist umgekehrt.

Oh ja, das stimmt!

$\begin{eqnarray*} x^{-1} = (a_1 * ... * a_n)^{-1} = (a_n^{-1} * a_{n-1}^{-1}... * a_1^{-1}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das so stehen lasse stimmt nun aber dennoch, dass dieses Produkt in [S] liegt, da ja jeder Faktor in S enthalten ist - ?

Genauer gesagt: jeder der Faktoren ist ein Element aus $\begin{eqnarray*} S \vee S^{-1} \end{eqnarray*}$ und daher ist auch $\begin{eqnarray*} x*x^{-1} \in [S] \end{eqnarray*}$ .

_____________________

Zum zweiten Teil:

Sei U eine Untergruppe von G. Jede Untergruppe von G muss ja, wie gerade gezeigt (oder auch noch nicht gezeigt) wurde, aus Elementen von $\begin{eqnarray*} S \vee S^{-1} \end{eqnarray*}$ bestehen.
Da aber [S] bereits all diese Elemente enthält, gilt auf jeden Fall: [S] ist auch in U enthalten.
Und das war ja zu zeigen.

15.11.2013, 12:26

RavenOnJ

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Vorab: Du solltest lernen, dich exakter auszudrücken. Mathematik funktioniert nicht ohne exakte Ausdrucksweise.

Zitat:

Original von Grüppchen

$\begin{eqnarray*} x^{-1} = (a_1 * ... * a_n)^{-1} = (a_n^{-1} * a_{n-1}^{-1}... * a_1^{-1}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das so stehen lasse stimmt nun aber dennoch, dass dieses Produkt in [S] liegt, da ja jeder Faktor in S enthalten ist - ?

Das $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ ist jetzt richtig.

Es ist halt nicht so, dass "jeder Faktor in S enthalten ist". In S sind nur die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ enthalten, aber nicht unbedingt ihre Inversen. Du musst da anders argumentieren.

Zitat:

Genauer gesagt: jeder der Faktoren ist ein Element aus $\begin{eqnarray*} S \vee S^{-1} \end{eqnarray*}$ und daher ist auch $\begin{eqnarray*} x*x^{-1} \in [S] \end{eqnarray*}$ .

Was soll $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ sein? Das hast du nicht definiert. Erst mal ist $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ nur eine Menge. Die Elemente aus $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ haben Inverse, $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ selber nicht. Du kannst natürlich $\begin{eqnarray*} S^{-1} \end{eqnarray*}$ in deinem Sinne definieren.

Zitat:

_____________________

Sei U eine Untergruppe von G. Jede Untergruppe von G muss ja, wie gerade gezeigt (oder auch noch nicht gezeigt) wurde, aus Elementen von $\begin{eqnarray*} S \vee S^{-1} \end{eqnarray*}$ bestehen.
Da aber [S] bereits all diese Elemente enthält, gilt auf jeden Fall: [S] ist auch in U enthalten.
Und das war ja zu zeigen.

Hättest du hier geschrieben "Sei U eine Untergruppe von G, die alle Elemente aus S enthält", dann wäre das der Anfang der Begründung, dass [S] die kleinste UG ist, die S enthält. Jetzt musst du nur noch zeigen, dass auch gilt $\begin{eqnarray*} S\subset U < G \Rightarrow [S] < U \end{eqnarray*}$ , wobei das '<' die Untergruppenbeziehung bedeutet. Hilfreich dabei ist die Tatsache, dass Durchschnitte von Untergruppen wieder Untergruppen sind.

Das Rote ist reichlich übertrieben, es kann durchaus Untergruppen geben, die kein Element aus $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthalten.

18.11.2013, 11:07

Grüppchen

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Hmm ich hänge da irgendwie fest..

wegen b)

Sei U eine Untergruppe von G, die alle Elemente aus S enthält.

soweit so gut. Ich verstehe nicht, wie ich zu Durchschnitten von Untergruppen komme.
verwirrt

18.11.2013, 13:49

RavenOnJ

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Überlege dir, was folgt, wenn Elemente zum Durchschnitt zweier Untergruppen gehören. Dann gehören sie zu beiden UGs. Überlege dir, warum dann auch das Inverse zu beiden UGs gehören muss. Stelle dir dann vor, dass du zwei Elemente $\begin{eqnarray*} a,b\in G \end{eqnarray*}$ hast, die beide zu beiden UGs gehören. Was folgt daraus für $\begin{eqnarray*} ab^{-1}\;? \end{eqnarray*}$

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