Optimierungsaufgabe mit Nebenbedingung

12.11.2013, 12:56

Tipso

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Optimierungsaufgabe mit Nebenbedingung

Hallo,

Wo liegt mein Fehler?

Zitat:

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf $\begin{eqnarray*} F(K,L)=K L^2 \end{eqnarray*}$ .Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK =18 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL =17. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmers unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 390 ME produziert werden soll.Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Arbeit in diesem Kostenminimum?

Kosten ist meine Nebenfunktion:

$\begin{eqnarray*} C(K, L) = 18 K + 17 L^2 = 390 \end{eqnarray*}$

Hauptfunktion
$\begin{eqnarray*} F(K,L) = K L^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K =\frac{ 17L^2}{18} \end{eqnarray*}$

-----------------------------

$\begin{eqnarray*} C(K, L) = 18 \frac{ 17L^2}{18} + 17 L^2 = 390 \end{eqnarray*}$

Ableiten und nullstellen

$\begin{eqnarray*} C' (K,L) = 36\frac{ 17L}{18} + 34L \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C' (K,L) = 34L + 34L \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C' (K,L) = 64L \end{eqnarray*}$

Wie geht es weiter? Hammer

Hammer

13.11.2013, 12:07

mYthos

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Dein Fehler ist klar, du hast die Hauptbedingung mit der Nebenbedingung vertauscht.
Die Hauptbedingung ist die Kostenfunktion (C) .. cost

$\begin{eqnarray*} C = 18 K + 17 L \end{eqnarray*}$

und diese soll unter der Nebenbedingung

$\begin{eqnarray*} KL^2 = 390 \end{eqnarray*}$

minimiert werden.
Die Nebenbedingung beschreibt in der Produktionsfunktion den Output (390 ME), welcher sich unter den Anzahlen K und L der eingesetzten Ressourcen (K; L) ergibt. Deren Zusammenhang mit dem Output P ist mit $\begin{eqnarray*} P(K; L) = K \cdot L^2 \end{eqnarray*}$ beschrieben.

Bei richtiger Rechnung ist L bei minimalen Kosten (C) rund 9,38 Arbeitseinheiten, K = ... Kapitaleinheiten.
Wichtig bei dieser Aufgabe ist, dass du die Resultate mit den richtigen Einheiten bezeichnest und auch mittels der 2. Ableitung das Minimum verifizierst.
Zum Schluss gib auch die (minimierten) Einzelkosten und die Gesamtkosten an.

mY+

13.11.2013, 17:22

tippso

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Ich verstehe nicht, warum ein L in der Kostenfunktion von L^2 zu einem L wird. verwirrt

verwirrt

Was ich als Haupt bzw. Nebenfunktion nehme ist bei dieser Aufgabe doch egal. verwirrt

verwirrt

13.11.2013, 18:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von tippso
Was ich als Haupt bzw. Nebenfunktion nehme ist bei dieser Aufgabe doch egal. verwirrt

verwirrt

Nein, eben nicht. Die Hauptfunktion beschreibt die Größe, die minimiert (oder ggf. maximiert) werden soll. Da kannst du doch nicht irgendwas beliebiges nehmen.

14.11.2013, 01:38

mYthos

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Zitat:

Original von tippso
Ich verstehe nicht, warum ein L in der Kostenfunktion von L^2 zu einem L wird. verwirrt

verwirrt

...

L ist die Stückzahl der eingesetzen Arbeitseinheiten, die Kosten sind natürlich proportional dazu, daher 17 L, währenddessen L in die Produktionsfunktion lt. Angabe quadratisch eingeht.
-------------
Und bitte, überdenke die Antworten der Helfer gründlicher, bevor du diesen mit haltlosen Behauptungen entgegnest.
Du hast nach deinem Fehler gefragt und wir haben dir diesen erklärt, also schaue dir das entsprechend an und fange besser dahingehend zu rechnen an.
Dass die Vertauschung von HB und NB NICHT egal ist, hast du doch daran schon gesehen, dass bei deinem Ansatz keine vernünftige Lösung herauskommt.

mY+

16.11.2013, 18:47

Tipso

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Hallo,

Ich tue mich allgemein sehr schwer die Dinge zu verstehen, um die es geht, zumindest im Mathematischen Context.

Das grobe Vorgehen beim optimieren ist mir schon klar glaube ich.
Wir haben zwei Informationen gegeben, die jeweiligen Funktionen. Diese sind beide nicht vollständig. Mittels mathematische Regeln versuchen wir nun ein bestimmtes Ergebnis zu finden.

Mein Problem bei diesen Aufgaben und ähnlichen:
Ich tue mich schwer den Text richtig zu interpretieren.

-----------------------------------------------------------------------------------
Es gibt zwei mögliche Verfahren um diese Aufgabe mit zwei Gleichungen und drei Unbekannte zu lösen.
Substitutionsverfahren

$\begin{eqnarray*} C = 18 K + 17 L \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} KL^2 = 390 \end{eqnarray*}$

Ich forme hier auf k um, weil ich ja den optimalen Preis für L suche.
Wenn ich den für k suchen würde, würde ich auf k umformen.

$\begin{eqnarray*} k = \frac{390}{L^2} \end{eqnarray*}$

Setze ich nun in die HB ein.

$\begin{eqnarray*} C = 18 \frac{390}{L^2} + 17L \end{eqnarray*}$

Nun will ich ja optimieren, also bilde ich die erste Ableitung und sehe nach ob es sich um ein Min handelt = zweite Ableitung.

$\begin{eqnarray*} C' = -2*18*390 *L^{-1} + 17 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

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16.11.2013, 19:00

Dopap

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der Exponent von L wird beim Ableiten um 1 kleiner! ( nicht grösser !)

16.11.2013, 20:02

Tipso

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danke für den Tipp @Dopap. smile

smile

$\begin{eqnarray*} C' = -2*18*390 *L^{-3} + 17 \end{eqnarray*}$

L = 9.38

---------------------------------------------------------

Was ist den nun k?

Ich könnte nochmals zur Nebenbedingung gehen und auf l umformen.
Oder ich setze mein l irgendwo einfach ein, das geht, weil L mein optimales L ist bei einem bestimmten Output, also steht es in einem Verhältnis zu k. verwirrt

verwirrt

Einsetzen könnte ich es demnach:

$\begin{eqnarray*} k = \frac{390}{L^2} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} C = 18 K + 17 L \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = 4.43 \end{eqnarray*}$
Habe mit ungerundeten Ergebnissen gerechnet.

Gesamtkosten:

$\begin{eqnarray*} C = 18 K + 17 L= 239.2 \end{eqnarray*}$

16.11.2013, 22:14

Dopap

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so ist doch alles richtig!

16.11.2013, 23:41

Tipso

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Wenn ich mein L in

$\begin{eqnarray*} C = 18 K + 17 L \end{eqnarray*}$

einsetze um K zu erhalten, dann erhalte ich ein falsches Ergebnis. verwirrt

verwirrt

17.11.2013, 00:41

Dopap

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das macht ja keinen Sinn, wenn schon alles gerechnet ist. Trotzdem:

$\begin{eqnarray*} 239.2=18K+17\cdot9.38 \end{eqnarray*}$

und warum sollte nun K nicht stimmen?

17.11.2013, 01:20

Tipso

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Ich meine davor, wenn ich nur L ausgerechnet habe.

Einsetzen könnte ich es demnach:

$\begin{eqnarray*} k = \frac{390}{L^2} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} C = 18 K + 17 L \end{eqnarray*}$

Demnacht geht zweiteres nicht.
Es gibt nur eine Option um K auszurechnen.

17.11.2013, 01:32

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso

Demnacht geht zweiteres nicht.
Es gibt nur eine Option um K auszurechnen.

Ja, richtig, es sei denn du rechnest komplett neu und löst deine Nebenbedingung nach L auf und setzt die in die HB ein.
Dann wieder ableiten ... unglücklich

unglücklich

17.11.2013, 01:55

Tipso

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Ich dachte, wenn ich eine Gleichung mit einer Variablen habe, geht es mittels einsetzen und umformen in dieser.

Es ginge aber, wenn ich das Ergebnis der Nebenbedingung hätte.
Wird schon alles seine Gründe haben, Morgen in der Früh werde ich es mir nochmals durchlesen und versuchen zu verstehen.

17.11.2013, 03:27

Dopap

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1.) wir hatten:
$\begin{eqnarray*} C=18K+17L \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} KL^2=390 \Rightarrow K=\frac {390}{L^2} \end{eqnarray*}$ eingesetzt $\begin{eqnarray*} C(L)=17L+\frac {7200}{L^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C'(L)=17-\frac {14040}{L^3}=0 \Rightarrow L=9.38 \end{eqnarray*}$ ...

oder anderstherum:

2.) $\begin{eqnarray*} C=18K+17L \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} KL^2=390 \Rightarrow L=\sqrt{\frac {390}{K}} \end{eqnarray*}$ eingesetzt $\begin{eqnarray*} C(K)=18K+17\sqrt{\frac {390}{K}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C'(K)=\frac {36K^2-17\sqrt{390K}}{2K^2}=0 \Rightarrow K=4.42 \end{eqnarray*}$ ...

dieser Ansatz ist deutlich mühsamer.

17.11.2013, 07:20

Tipso

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Ich habe die Ansätze verstanden:

Warum darf ich mein L nicht einfach hier hineinsetzen:

$\begin{eqnarray*} C = 18 K + 17 L \end{eqnarray*}$

um K zu erhalten.

Ich weiß ja mein optimales L.
$\begin{eqnarray*} C' = -2*18*390 *L^{-3} + 17 \end{eqnarray*}$

L = 9.38

17.11.2013, 12:43

mYthos

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C kennst du aber zu diesem Zeitpunkt noch nicht, daher ist aus der NB zuerst K (mittels L) zu berechnen, danach kannst du (aus der HB) C berechnen.

mY+

17.11.2013, 18:14

Tipso

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verwirrt

Danke. Damit ist die Aufgabe wohl erledigt. Freude

Freude

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