Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden

12.11.2013, 15:08

Lynn2

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Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden

Meine Frage:
M sei eine Menge. $\begin{eqnarray*} M\left\{ (a, b):a,b \in Q, a>0 \right\} \end{eqnarray*}$
Verknüpfung: $\begin{eqnarray*} (a_1,b_1) \circ (a_2,b_2) = (a_1a_2,b_1a_2+b_2) \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass die Menge zusammen mit der Verknüpfung eine Gruppe darstellt.

Meine Ideen:
Ich muss nun also die Assoziativität zeigen, sowie das ein Inverses sowie ein neutrales Element existiert.

zur Assoziativität:
im Allgemeinen gilt: $\begin{eqnarray*} x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z \end{eqnarray*}$
Nun ist meine Idee: $\begin{eqnarray*} (a_1,b_1) \circ ((a_2,b_2) \circ (a_3,b_3)) = (a_1,b_1) \circ (a_2,b_2) \circ (a_3,b_3) = ((a_1,b_1) \circ (a_2,b_2)) \circ (a_3,b_3) = (a_1a_2,b_1a_2+b_2) \circ (a_3,b_3) \end{eqnarray*}$

12.11.2013, 16:00

klarsoweit

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
Das einzige, was an deiner Idee in Ordnung ist, ist die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} ((a_1,b_1) \circ (a_2,b_2)) \circ (a_3,b_3) = (a_1a_2,b_1a_2+b_2) \circ (a_3,b_3) \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du noch zeigen, daß die rechte Seite gleich $\begin{eqnarray*} (a_1,b_1) \circ ((a_2,b_2) \circ (a_3,b_3)) \end{eqnarray*}$ ist.

12.11.2013, 16:03

Lynn2

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
$\begin{eqnarray*} (a_1a_2,b_1a_2+b_2) = (a_1,b_1) \circ (a_2,b_2) \end{eqnarray*}$
Und dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} (a_1,b_1) \circ (a_2,b_2) \circ (a_3,b_3) \end{eqnarray*}$ .
Aber nun weiß ich nicht weiter zwecks den Klammern.

12.11.2013, 16:34

RavenOnJ

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
Rechne doch erst mal $\begin{eqnarray*} (a_1a_2,b_1a_2+b_2) \circ (a_3,b_3) \end{eqnarray*}$ aus. Und dann $\begin{eqnarray*} (a_1,b_1) \circ ((a_2,b_2) \circ (a_3,b_3))=(a_1,b_1) \circ (a_2a_3,b_2 a_3+b_3) \end{eqnarray*}$ .

12.11.2013, 16:40

Lynn2

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
$\begin{eqnarray*} ((a_1,b_1) \circ (a_2,b_2)) \circ (a_3,b_3) = (a_1a_2,b_1a_2+b_2) \circ (a_3,b_3)= (a_1a_2 \circ a_3, (b_1a_2+b_2) \circ b_3) \end{eqnarray*}$

Meinst du so?

12.11.2013, 16:44

Lynn2

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
$\begin{eqnarray*} ((a_1,b_1) \circ (a_2,b_2)) \circ (a_3,b_3) = (a_1a_2,b_1a_2+b_2) \circ (a_3,b_3)= (a_1a_2 \circ a_3, (b_1a_2+b_2) \circ b_3) = (a_1a_2a_3,b_1a_2+b_2a_3+b_3) \end{eqnarray*}$
Das ich die Verknüpfungen dann so bilden?

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12.11.2013, 17:01

RavenOnJ

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden

Zitat:

Original von Lynn2
$\begin{eqnarray*} ((a_1,b_1) \circ (a_2,b_2)) \circ (a_3,b_3) = (a_1a_2,b_1a_2+b_2) \circ (a_3,b_3)= (a_1a_2 \circ a_3, (b_1a_2+b_2) \circ b_3) = (a_1a_2a_3,b_1a_2+b_2a_3+b_3) \end{eqnarray*}$
Das ich die Verknüpfungen dann so bilden?

Das Ergebnis ist fast richtig, was zwischen dem 2. und 3. Gleichheitszeichen steht, ist jedoch sinnlos. Guck dir die 2. Komponente des Ergebnisses nochmal an.

12.11.2013, 17:29

Lynn2

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
Sorry, aber ich weiß nicht, was du meinst. verwirrt

verwirrt

Darf man das so nicht aufschreiben?

$\begin{eqnarray*} ((a_1,b_1) \circ (a_2,b_2)) \circ (a_3,b_3) = (a_1a_2,b_1a_2+b_2) \circ (a_3,b_3)= (a_1a_2 \circ a_3, (b_1a_2 \circ b_3 +b_2 \circ b_3) = (a_1a_2a_3,b_1a_2+b_2a_3+b_3) \end{eqnarray*}$
Muss man es so aufschreiben oder was meinst du?

12.11.2013, 17:36

RavenOnJ

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden

Zitat:

Original von Lynn2
Sorry, aber ich weiß nicht, was du meinst. verwirrt

verwirrt

Darf man das so nicht aufschreiben?

$\begin{eqnarray*} ((a_1,b_1) \circ (a_2,b_2)) \circ (a_3,b_3) = (a_1a_2,b_1a_2+b_2) \circ (a_3,b_3)= {\color {red}(a_1a_2 \circ a_3, (b_1a_2 \circ b_3 +b_2 \circ b_3) }= (a_1a_2a_3,{\color{blue}b_1a_2+b_2a_3+b_3}) \end{eqnarray*}$
Muss man es so aufschreiben oder was meinst du?

Das Rote ist sinnlos, da darf kein $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ drin stehen. Mit $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ verknüpfst du nur ganze Paare, keine Komponenten.

Das Blaue ist immer noch nicht richtig.

12.11.2013, 18:02

Lynn2

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
Okay, dann lassen wir den roten Teil weg.

$\begin{eqnarray*} ((a_1,b_1) \circ (a_2,b_2)) \circ (a_3,b_3) = (a_1a_2,b_1a_2+b_2) \circ (a_3,b_3)= (a_1a_2a_3,b_1a_2+b_2a_3+b_3) \end{eqnarray*}$

Warum ist der blaue Teil nicht richtig?

12.11.2013, 18:13

RavenOnJ

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden

Zitat:

Original von Lynn2

$\begin{eqnarray*} ((a_1,b_1) \circ (a_2,b_2)) \circ (a_3,b_3) = (a_1a_2,b_1a_2+b_2) \circ (a_3,b_3)= (a_1a_2a_3,b_1a_2+b_2a_3+b_3) \end{eqnarray*}$

Warum ist der blaue Teil nicht richtig?

Wende mal die Verknüpfungsvorschrift korrekt an.

12.11.2013, 18:20

Lynn2

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
Im Prinzip verknüpfe ich $\begin{eqnarray*} (b_1a_2+b_2) \circ (b_3) \end{eqnarray*}$ . Muss ich nun nicht jeden Term mit $\begin{eqnarray*} b_3 \end{eqnarray*}$ verknüpfen?

12.11.2013, 18:24

RavenOnJ

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden

Zitat:

Original von Lynn2
Im Prinzip verknüpfe ich $\begin{eqnarray*} (b_1a_2+b_2) \circ (b_3) \end{eqnarray*}$ . Muss ich nun nicht jeden Term mit $\begin{eqnarray*} b_3 \end{eqnarray*}$ verknüpfen?

Jetzt hast du wieder dieses $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ drin böse

böse

.

Definiere mal $\begin{eqnarray*} (x,y) := (a_1a_2,b_1a_2+b_2) \end{eqnarray*}$ . Vielleicht kommst du dann drauf, was $\begin{eqnarray*} (x,y) \circ (a_3,b_3) \end{eqnarray*}$ ist.

12.11.2013, 18:30

Lynn2

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
$\begin{eqnarray*} (x,y) \circ (a_3,b_3) = (xa_3,yb_3) \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} ((a_1,b_1) \circ (a_2,b_2)) \circ (a_3,b_3) = (a_1a_2,b_1a_2+b_2) \circ (a_3,b_3)= (a_1a_2a_3,(b_1a_2+b_2)b_3) \end{eqnarray*}$

12.11.2013, 18:35

RavenOnJ

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden

Zitat:

Original von Lynn2
$\begin{eqnarray*} (x,y) \circ (a_3,b_3) = (xa_3,yb_3) \end{eqnarray*}$

verwirrt

Wie kommst du denn jetzt da drauf?

12.11.2013, 19:58

Lynn2

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
$\begin{eqnarray*} (x,y) \circ (a_3,b_3) = (x\circ a_3,y\circ b_3) \end{eqnarray*}$ Ich meinte das. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.11.2013, 20:25

RavenOnJ

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden

Zitat:

Original von Lynn2
$\begin{eqnarray*} (x,y) \circ (a_3,b_3) = (x\circ a_3,y\circ b_3) \end{eqnarray*}$ Ich meinte das. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das ist aber falsch. böse

böse

Wie oft soll ich noch schreiben, dass das nicht geht bzw. sinnlos ist?

12.11.2013, 20:34

Lynn2

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
Dann weiß ich leider nicht, was du meinst. traurig

traurig

12.11.2013, 20:43

RavenOnJ

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
Dann zitiere ich mal deinen ersten Beitrag:

Zitat:

Original von Lynn2

Verknüpfung: $\begin{eqnarray*} (a_1,b_1) \circ (a_2,b_2) = (a_1a_2,b_1a_2+b_2) \end{eqnarray*}$

[/latex]

Jetzt nimm statt $\begin{eqnarray*} (a_1,b_1) \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ . Beachte dann die Definition von $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ aus einem meiner vorigen Beiträge und setze für x und y die entsprechenden Ausdrücke ein.

12.11.2013, 20:59

Lynn2

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
$\begin{eqnarray*} ((a_1,b_1) \circ (a_2,b_2)) \circ (a_3,b_3) = (a_1a_2,b_1a_2+b_2) \circ (a_3,b_3)= (a_1a_2a_3,b_1a_2a_3+b_2a_3+b_3) \end{eqnarray*}$
Ist es nun richtig?

12.11.2013, 21:02

RavenOnJ

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
na endlich. Nun der nächste Schritt, $\begin{eqnarray*} (a_1,b_1) \circ ( (a_2,b_2)) \circ (a_3,b_3) ) \end{eqnarray*}$ berechnen und dann die beiden Ausdrücke vergleichen.

12.11.2013, 21:10

Lynn2

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
Alles klar. Das habe ich hinbekommen.

Wie prüfen ich, ob ein neutrales Element existiert?

12.11.2013, 21:14

RavenOnJ

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
Überlege, welche Bedingung das neutrale Element erfüllen muss. Bei Berücksichtigung der Verknüpfungsvorschrift kommst du dann drauf, wie es aussehen muss.

12.11.2013, 21:24

Lynn2

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
$\begin{eqnarray*} (a_1,b_1) \circ (a_0,b_0) = (a_1,b_1) \end{eqnarray*}$
Das muss ja erstmal allgemein gelten, richtg?

12.11.2013, 21:29

RavenOnJ

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
exakt. Und daraus folgt, wie $\begin{eqnarray*} (a_0,b_0) \end{eqnarray*}$ aussehen muss.

12.11.2013, 21:40

Lynn2

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
Wie kann ich denn $\begin{eqnarray*} (a_0,b_0) \end{eqnarray*}$ genauer bestimmen? Ich weiß doch gar nicht, ob es sich um eine Addition oder Multiplikation handelt.

12.11.2013, 21:49

RavenOnJ

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
Du musst mal mehr mitdenken. Ich habe keine Lust, dir alles vorzukauen. böse

böse

Du musst wieder die Verknüpfungsvorschrift $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ benutzen. Nur diesmal weißt du das Ergebnis der Verknüpfung schon, das ist nämlich $\begin{eqnarray*} (a_1,b_1) \end{eqnarray*}$ . Daraus kannst du dann schließen, wie $\begin{eqnarray*} (a_0,b_0) \end{eqnarray*}$ aussehen muss, damit die Gleichung erfüllt wird.

12.11.2013, 22:31

Lynn2

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
$\begin{eqnarray*} (a_0,b_0) = (1,0) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank. smile

smile

Und auch danke für deine Ausdauer. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Freude

12.11.2013, 23:22

RavenOnJ

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RE: Assoziativität untersuchen sowie Inverses und neutrales Element finden
Fehlt noch das inverse Element zu $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ .

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