Abbildung von Mengen und deren Verknüpfungen

12.11.2013, 17:26

heinzi1991

Abbildung von Mengen und deren Verknüpfungen

Edit (mY+): Titel modifiziert. Schreibe bitte keine Romane in den Titel, das gehört in den Thementext.

Meine Frage:
Hier noch mal die Angabe ohne Fragezeichen:
$\begin{eqnarray*} Es sei f eine Abbildung der Menge M in die Menge N und A,B \subseteq M sowie C, D \subseteq N. \end{eqnarray*}$

Also wie schon im Titel (mir ist kein besserer eingefallen) ist eigentlich schon die Fragestellung drinnen!
Ich hoffe ihr könnt mir helfen; es gibt vier Beispiele (also a, b, c, d) und ich hoffe ihr könnt mir zeigen wie ich das angehe! Also ich habe keinen Plan wie ich anfange bzw. wie ich etwas machen soll!

$\begin{eqnarray*} a. f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)\\ b. f (A \cap B) \subseteq f (A) \cap f (B)\\ c. f^{-1} (C \cup D) = f^{-1} (C) \cup f^{-1} (D)\\ d. f^{-1} (C \cap D) = f^{-1} (C) \cap f^{-1} (D)\\ \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Keinen Plan was ich eigentlich hier machen soll!
Tut mir wirklich leid, das ich keine Ideen mitbringen kann!

12.11.2013, 20:13

Mulder

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RE: Es sei f eine Abbildung der Menge M in die Menge N und A, B ? M sowie C, D ? N.
Zum Beispiel zur a)

Zitat:

Original von heinzi1991
$\begin{eqnarray*} f(A \cup B) = f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

Gleichheit zweier Mengen zeigt man standardmäßig in zwei Schritten (also beide Inklusionen):

$\begin{eqnarray*} i) \, \, f(A \cup B) \subseteq f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ii) \, \, f(A) \cup f(B) \subseteq f(A \cup B) \end{eqnarray*}$

Denn daraus folgt die Gleichheit beider Mengen und dahin wollen wir ja.

Für $\begin{eqnarray*} i) \end{eqnarray*}$ zum Beispiel:

Sei $\begin{eqnarray*} y \in f(A \cup B) \end{eqnarray*}$ . Das heißt: $\begin{eqnarray*} \exists x \in A \cup B : f(x)=y \end{eqnarray*}$ .

Das heißt: Entweder in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ (oder gar in beiden Mengen zugleich) gibt es ein geeignetes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , das $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ erfüllt. Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} y \in f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$ .

Damit ist die Inklusion $\begin{eqnarray*} f(A \cup B) \subseteq f(A) \cup f(B) \end{eqnarray*}$ bewiesen. Die andere Richtung überlasse ich dir. Und mit diesem Startschuss gelingen dir vielleicht auch die anderen Aufgaben.

Ist eigentlich nicht schwierig, also keine Scheu. Einfach mal drauf los. Nur stur mit Definitionen arbeiten.

13.11.2013, 09:31

heinzi1991

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Danke für deine Antwort aber trotzdem komm ich nicht weiter; ich glaub du oder jemand anderer muss es mir für "trotteln" erklären, also in kleinen schritten damit ich eig versteh, was ich hier eig tun muss in dieser Aufgabe!

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