Spektralzerlegung

12.11.2013, 23:27	MadRix	Auf diesen Beitrag antworten »
Spektralzerlegung Meine Frage: folgende Matrix ist gegeben $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ jetzt muss ich prüfen ob Satz der Spektralzerlegung gilt: $\begin{eqnarray} diag(\lambda_{1}, \lambda_{2}) = P'AP \end{eqnarray}$ dazu muss ich P bestimmen. Meine Ideen: Habe Eigenwerte bestimmt: 3, -2 Eigenvektoren: (1, 1), (-2, 3) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = P'AP wir kann ich hier jetzt P bestimmen? habe versucht die eigenvektoren einzusetzen aber komme damit auf keinen grünen zweig. Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen und zweiten Beitrag gelöscht, damit's nicht aussieht, als ob schon geantwortet wird. Steffen
13.11.2013, 12:07	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du suchst für eine unsymmetrische Matrix A eine Matrix P derart, so dass gilt $\begin{eqnarray} P^{-1}AP=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Eigenwerte und Eigenvektoren hast du richtig berechnet. $\begin{eqnarray} \lambda_1=3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec p_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_2=-2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec p_1=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Spalten der gesuchten Matrix P sind gerade die Eigenvktoren, also $\begin{eqnarray} \underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{3}{5} & \tfrac{2}{5} \\ -\tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{5} \end{pmatrix}}_{P^{-1}} \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}}_{P} =\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
13.11.2013, 15:34	MadRix	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhh, also ist die formel tatsächlich $\begin{eqnarray} P^{-1}BP \end{eqnarray}$ (mit P invertiert), und nicht $\begin{eqnarray} P'BP \end{eqnarray}$ (mit P transponiert)? das würde natürlich erklären wieso es bei mir nciht aufging

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