Integral mit Cauchyscher Integralformel lösen

12.11.2013, 23:33	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mit Cauchyscher Integralformel lösen Hallo zusammen! Bei folgender Aufgabe komme ich irgendwie auf keinen grünen Zweig, da habe ich ein ganz schönes Brett vorm Kopf. Man berechne $\begin{eqnarray} \int_{\partial B_{\frac{3}{2}}(1)} \! \frac{z^{7} }{z^{2}(z^{4}+1)} \, dz \end{eqnarray}$ Dabei versteht man unter dem Integral das Kurvenintegral über $\begin{eqnarray} \alpha_{a,r}(t) := a+re^{it} , 0\leq t\leq 2\pi \end{eqnarray}$ Ich dachte, ich könnte hier die Cauchysche Integralformel anwenden. Leider habe ich dann große Probleme, mein f so zu bestimmen, dass ich die Form $\begin{eqnarray} \int_{\partial B_{\frac{3}{2}}(1)} \! \frac{f(z) }{z-z_0} \, dz \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z_0 \in B_{\frac{3}{2}}(1) \end{eqnarray}$ bekomme. Ich dachte mir zuerst, da $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ eine Nullstelle ist, ich könnte $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{z^{7}}{z(z^{4}+1)} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} z_0 = 0 \end{eqnarray}$ wählen, aber dann ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ja nicht über der ganzen Kreisscheibe holomorph. Ich habe dann mehr oder weniger planlos versucht, mir irgendwas zurechtzubasteln, aber ohne Erfolg. Vielleicht muss man ja auch ganz anders an die Aufgabe herangehen. Für einen kleinen Denkanstoß wäre ich sehr dankbar!
13.11.2013, 22:04	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Von genau der selben Funktion soll in einer späteren Teilaufgabe wieder ein Integral ausgerechnet werden, aber über $\begin{eqnarray} \partial B_1(2) \end{eqnarray}$ . Das müsste meiner Ansicht nach 0 sein, da die Funktion auf der ganzen abgeschlossenen Kugel (Sterngebiet) holomorph ist und die Kurve geschlossen. Aber bei der erstgenannten Aufgabe ist das leider nicht so und mit der Integralformel komme ich auch nicht weiter. Den Residuensatz (davon hab ich schon viel gehört) hatten wir übrigens noch nicht, falls der hier weiterhelfen sollte.

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