Lösung einer Integralgleichung via Banachschem Fixpunktsatz

13.11.2013, 00:59

Lithiesque

Lösung einer Integralgleichung via Banachschem Fixpunktsatz

Hallo,

ich muss folgende Aufgabe lösen:

Sei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ stetig auf $\begin{eqnarray*} [0,1]\times[0,1] \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0\leq k\leq1 \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=c+\int_0^1k(x,y)f(y)^{-2}dy, 0\leq x\leq1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} c>2^{1/3} \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Lösung $\begin{eqnarray*} f\in C([0,1])=:X \end{eqnarray*}$ hat.

Die Aufgabe sieht sehr danach aus, als solle sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz gelöst werden, nur will mir das nicht so recht gelingen. Ich würde zunächst so vorgehen:
Definiere $\begin{eqnarray*} Y:= \{f\in X: \forall x\in [0,1]:f(x)\neq 0 \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T:Y \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (Tf)(x):=c+\int_0^1k(x,y)f(y)^{-2}dy \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f\in Y, x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ .

Allerdings ist $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen, also auch nicht vollständig und der BFPS somit nicht anwendbar. D.h. man müsste vielleicht zu einem abgeschlossenen Unterraum von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ übergehen... aber zu welchem? Weiß jemand, wie die Aufgabe anzugehen ist?

13.11.2013, 17:02

EinGast

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RE: Lösung einer Integralgleichung via Banachschem Fixpunktsatz

Zitat:

Original von Lithiesque
D.h. man müsste vielleicht zu einem abgeschlossenen Unterraum von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ übergehen... aber zu welchem?

das lässt sich an der Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x)=c+\int_0^1k(x,y)f(y)^{-2}\, dy \end{eqnarray*}$ ablesen: da das Integral immer $\begin{eqnarray*} \ge 0 \end{eqnarray*}$ ist, muss der gesuchte Fixpunkt $\begin{eqnarray*} f(x)\ge c \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ erfüllen

13.11.2013, 21:49

Lithiesque

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Oh... ja, irgendwie logisch. Danke für die Hilfe!

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