Linearfaktorzerlegung von komplexen Polynomen

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Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »
Linearfaktorzerlegung von komplexen Polynomen
Aufgabe : Zerlege das komplexe Polynom in Linearfaktoren.

Wenn ich dieses komplexe Polynom = 0 setze, bekomme ich ja die Nullstellen:



Dann hab ich die Lösung :

Richtig?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Linearfaktorzerlegung von komplexen Polynomen
Nein, das ist leider nur für n=2 richtig. Bedenke, dass ein Polynom vom Grad n auch n Nullstellen hat! Es muss ja, wenn Du ausmultiplizierst, wieder herauskommen. Mit Deiner Lösung bekommst Du die höchste Potenz nur auf z², wie Du leicht nachrechnen kannst.

Weißt Du, wie man die von der Hauptlösung (hier ) ausgehend auf die n-1 anderen Lösungen kommt?

Viele Grüße
Steffen
 
 
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort Steffen.
Heisst das das ich die Klammer mit n potenzieren muss?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das heißt, dass Du die anderen Nullstellen z2, z3, z4, ..., zn berechnen musst, und zwar alle. Erst dann kannst Du die Zerlegung (z-z1)*(z-z2)*...*(z-zn) angeben. Die erste Nullstelle z1 hast Du korrekt angegeben, nun bestimme die anderen.
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß gerade nicht wie ich die anderen rauskriege traurig
Wie soll ich das machen?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Die n Lösungen verteilen sich gleichmäßig auf einem Kreis um den Nullpunkt. Der Winkelabstand ist somit 360°/n.

Wenn Du die Hauptlösung hast, drehst Du einfach um diesen Winkel weiter, dann kommst Du zur zweiten. Wieder um diesen Winkel weiter, dann hast Du die dritte. Und so weiter.

Zum Beispiel ist die Hauptlösung für natürlich . Nun muss man dreimal um 360°/4=90° weiterdrehen, dann landet man erst bei , dann bei , dann bei .

Jetzt übertrag das mal auf Deine Aufgabe.
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Mühe Steffen.
Aber ich versteh nicht, wieso bei dein Beispiel x2=i ist.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Stell Dir die komplexe Ebene vor, mit der Hauptlösung als einen Zeiger, der vom Mittelpunkt zur reellen Zahl 1 geht. Das ist die Hauptlösung meines Beispiels.

Und nun drehe diesen Zeiger um 90° gegen den Uhrzeigersinn. Jetzt zeigt er nach oben, also auf die Zahl i. Siehst Du das?

Und diese Lösung stimmt auch, denn i hoch 4 ist in der Tat 1.
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich die Hauptlösung auch mit 360/4 weiterdrehen oder mit 360/n?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Mit letzterem (allerdings nicht 360/n, sondern 360°/n bzw. 2pi/n). Denn Du hast ja jetzt ein Polynom vom Grad n, nicht vom Grad 4.
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Das berechnen der Nullstellen hat doch aber dann kein ende.
Oder wird sich das dann irgendwann wiederholen?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Du machst das ja nur n-mal, um die n Nullstellen zu erhalten. Dann kannst Du aufhören. Würdest Du weiterdrehen, würdest Du wieder bei der Hauptlösung landen, denn Du bist dann "einmal rum".

In meinem Beispiel ist die letzte Lösung x4=-i. Wenn Du nun um 90° weiterdrehst, landest Du wieder bei x1=1. Siehst Du das?
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Also meine Hauptlösung ist Nund muss ich die ja mit 360°/n weiterdrehen. Wie soll das gehen?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Am einfachsten mit der Polardarstellung dieser Hauptlösung. Dann hast Du einen Betrag, der gleichbleibt, und einen Winkel, den Du weiterdrehst.
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Polardarstellung verwirrt ... hatte ich noch nicht
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, seltsam, dass Du dann so eine Aufgabe bekommst. Aber Du weißt doch, wie man den Winkel einer komplexen Zahl bestimmt, oder?
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja mit den reelen und imaginären Teil und dann halt den cosinus benutzen.

Steffen wir müssen uns sputen.
Ich bin gestern bei den HA machen eingeschlafen und nun bin ich unter Zeitdruck, denn in 30 min ist Abgabe unglücklich
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fakelove1
Ja mit den reelen und imaginären Teil und dann halt den cosinus benutzen.


Nein, den Tangens. Was für einen Winkel hat also ?
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmmm Wie komme ich auf den Im und Re?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du den Winkel der komplexen Zahl -17 kennst (wie ist der?), dann wird der durch n geteilt, wenn Du die n-te Wurzel ziehst.
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder habe ich rausbekommen

und Re(z)= 0
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

der winkel müsste dann eigentlich 90°sein, da wir die NST haben oder?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt leider nicht.

Wie groß ist der Winkel von -17?
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß nicht .
Noch 17 min Gott
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Stell Dir wieder die komplexe Ebene vor. Der Zeiger auf die reelle Zahl +1 zeigt nach rechts, hat also 0°. Der Zeiger auf die Zahl i hat 90°, das hatten wir ja schon.

Welchen Winkel hat der Zeiger auf die Zahl -17?
Fakelove1 Auf diesen Beitrag antworten »

-17 müsste dann 180°
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fakelove1
-17 müsste dann 180°


Prima! Und nun zieh die n-te Wurzel. Welcher Winkel kommt dann raus?
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