Methode der kleinsten Quadrate (Regression) |
| 13.11.2013, 01:50 | TaiChin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Methode der kleinsten Quadrate (Regression) |
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| 13.11.2013, 08:30 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Methode der kleinsten Quadrate (Regression) Ja, wenn Du die y-Werte vorher logarithmierst, dann die Regressionsgerade bestimmst und anschließend wieder rücktransformierst. Wenn's da Schwierigkeiten gibt, melde Dich noch mal. Viele Grüße Steffen |
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| 13.11.2013, 10:49 | TaiChin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es geht um Bevölkerungswachstum zu bestimmten Zeiten: Zeit Bevölkerung 1700 600 Mio. 1800 980 Mio. 1900 1650 Mio. Ich soll jetzt wahrscheinlich mithilfe Umkehrfunktion ln folgendes implizieren: y=Ae^(rx) ln(y)=ln(Ae^(rx)) Mithilfe Logarithmusgesetzen: ln(y)=ln(A)+rx, wobei ich interpretieren kann als: lm(A)=b und r=m, sprich y=mx+b Jetzt soll ich die y-Werte Logarithmieren. Das ist am besten die Bevölkerungszahl oder ? |
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| 13.11.2013, 11:00 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig! Mit dem Zehner-Logarithmus erhältst Du zum Beispiel die Werte 1700 8,77815125 1800 8,991226076 1900 9,217483944 Und da kannst Du jetzt Deine lineare Regression drauf loslassen. Was für eine Geradengleichung ergibt sich? |
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| 13.11.2013, 11:08 | TaiChin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also kann ich nun mit diesen Werten einfach eine Geradengleichung wie gewöhnlich bestimmen? Wie kommst du auf deine Werte ? Wenn ich die y-Achse als Bevölkerungszahl betrachte, dann bekomm ich für ln(600.000.000) ein ganz anderen Wert heraus als 8,77815125. Und noch eine Frage. Ich darf glaube gar keinen GTR nutzen ... |
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| 13.11.2013, 11:12 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig. Und danach wieder rücktransformieren.
War wohl meine Schuld - ich hab zuerst "natürlicher Logarithmus" geschrieben und dann zwar gleich in "Zehnerlogartihmus" verbessert, aber es war anscheinend zu spät. Mit dem ln geht's allerdings genauso.
Einen grafischen brauchst Du auch gar nicht, er muss nur den log können. Womit machst Du denn Deine Regression? |
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| 13.11.2013, 11:19 | TaiChin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich darf glaube gar keinen Taschenrechner nutzen. 
Ansonsten bleibt mir wohl auch gar keine wahl oder ? Kann man den nicht die komplette Rechnung ,,Allgemein" lösen, also ohne die lns zu berechnen ? Oder gibt es Probleme dabei später ?Wenn ich nun den ln nutze, dann muss ich ja nur ln(600.000.000) z.b. für den ersten Wert eingeben. Daraus habe ich 20,21. Das ist doch nun richtig? |
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| 13.11.2013, 11:26 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Regressionsgerade also wirklich zu Fuß ausrechnen? Nun ja, zu schaffen ist das schon bei drei Punkten, aber ich weiß nicht...
Dann unterstellst Du einen linearen Zusammenhang und "quetschst" da eine Gerade rein, obwohl die Werte nicht linear ansteigen. Du bekommst natürlich eine Ausgleichsgerade, und der Regressionkoeffizient ist auch nicht schlecht, aber wenn es exponentiell sein soll, musst Du das mit dem Logarithmus machen.
Ja, das ist richtig. |
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| 13.11.2013, 11:36 | TaiChin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So nochmal eine Frage. Nach dem meine aktuellen Werte 1700 ln(600 Mio.) 1800 ln(980 Mio.) 1900 ln(1650 Mio.) sind. (Ich würde es wahrscheinlich ebenfalls mit einem GTR machen). Und ich weiss das aus y=Ae^(rx) folgendes folgt: ln(y)=ln(A)+rx, wobei ich interpretieren kann als: lm(A)=b und r=m, (Geradengleichung: y=mx+b) Jetzt kann ich erst einmal mit 1700 log (600 Mio.) 1800 log (980 Mio.) 1900 log (1650 Mio.) eine ganz normale Geraden Regression machen oder? Der rechnerische Weg für eine Geradenregression ist mir bekannt! |
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| 13.11.2013, 11:37 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, wie schon geschrieben. |
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| 13.11.2013, 11:49 | TaiChin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ah ok, dann hast du wohl meine Frage bzgl. ,,Kann man den nicht die komplette Rechnung ,,Allgemein" lösen, also ohne die lns zu berechnen ?" falsch verstanden. Ich meinte damit, das ich die ln nur stehen lasse und nicht löse. Oder ist das ohne Taschenrechner tatsächlich nicht lösbar ? |
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| 13.11.2013, 11:54 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nun ja, wenn Du nicht ein paar Logarithmen auswendig kennst bzw. eine Logarithmentafel besitzt oder mit halblogarithmischem Papier bzw. Rechenscheiber arbeitest, wirst Du Dich schwertun. So hat man es jedenfalls in Zeiten gemacht, als es noch keinen Taschenrechner gab. |
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| 13.11.2013, 23:36 | TaiChin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo ich bin es noch einmal, ich muss noch einmal etwas fragen, damit ich mir nun ganz sicher bin xD. Die Aufgabe lautet: Die Erdbevolkerung ist entsprechend der angegebenen Tabelle exponentiell zwischen 1700 und 1900 angewachsen. Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Fehlerquadrate die Parameter der Exponentialfunktion. Berechnen Sie anschließend die mit diesen Parametern extrapolierte Bev¨olkerungszahl im Jahr 2000. Vergleichen Sie diesen Wert mit der tatsachlichen Bevolkerungszahl von 6070 Mio im Jahr 2000. Was schließen sie daraus? Zeit Bevölkerung 1700 600 Mio. 1800 980 Mio. 1900 1650 Mio. Ich würde nun die Zeiten als x Koordinaten wählen, dementsprechend sind die Bevölkerungszahlen die y-Achse. Wenn ich nun mithilfe y=c*e^(d*x) eine Exponentialfunktion bilde ist das richtig? Also ich muss diese Funktion für meine Aufgabe verwenden? Und nach dem ich die Funktion berechnet habe setze ich 2000 als x Wert ein um dann mit dem tatsächlichen Wer vergleichen z können. Meine Funktion kommt gleich! |
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| 14.11.2013, 00:58 | TaiChin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Meine Exponentialfunktion lautet y=11,62e^(0,00505x) Ist das richtig ?? |
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| 14.11.2013, 01:46 | TaiChin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Korrektur bevor ich schlafen gehen werde! Meine Exponentialfunktion lautet y=111301,721e^(0,00505x) |
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| 14.11.2013, 02:22 | Taichin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wolfram Alpha sagt mir 100234e^(0,0051098x) Zugroße Abweichung oder noch ok ? Habe immer zwei Stelen nach dem Komma gerundet. |
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| 14.11.2013, 09:43 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, das ist richtig. Mach Dir keine Gedanken wegen der kleinen Rundungsfehler, mein Excel spuckt zum Beispiel y = 110059*e^0,0051x aus. Viele Grüße Steffen |
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| 14.11.2013, 09:50 | TaiChin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hey, vielen dank! Dann habe ich es doch tatsächlich verstanden und dazu noch richtig gemacht! |
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| 14.11.2013, 10:25 | TaiChin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ach, ich muss ja noch die andere Teilaufgabe lösen. Also Die Bevölkerungszahl von 2000 errechnen und mit der tatsächlichen Zahl 6070 Mio. vergleichen. Wenn ich in meine berechnete Formel y=111301,721e^(0,00505x) einsetze folgt: y(2000)=2709401292, was ziemlich ungleich 6070 Mio. ist. Also kann ich als Rückschluss sagen, dass trotzdem Werte deutlich abweichen können, sofern zu wenige Messungen vorhanden sind. Umso mehr Messgrößen umso weniger Abweichungen. |
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| 14.11.2013, 10:43 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist ein Aspekt. Ein anderer ist, dass sich Bevölkerungen nicht unbedingt an das exponentielle Wachstum halten. Es gibt einserseits Seuchen, Kriege und andere unangenehme Dinge, die zum Rückgang der Zahlen führen. Es gibt andererseits medizinische Fortschritte, höheren Wohlstand, die zum Steigen führen. Es gibt Kulturen, wo es verpönt ist, mehr als ein Kind zu haben, es gibt andere, wo Kinderreichtum üblich ist. Und es gibt noch weitaus mehr solche Einflüsse, die bewirken, dass sich Menschen eben offenbar nicht so vermehren wie Bakterien in einer Petrischale. Selbst wenn man also mehr Messpunkte hätte, ist es darüber hinaus fragwürdig, ein so einfaches expontielles Wachstum zugrundezulegen. Viele Grüße Steffen |
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| 14.11.2013, 11:08 | TaiChin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke, sehr wichtige Punkte. Schäme mich das sie mir nicht selbst eingefallen sind, da es echt gravierende Punkte sind! |
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