Summierbarkeit zeigen

13.11.2013, 08:50

Knanu

Summierbarkeit zeigen

Meine Frage:
Hallo wir sollen entscheiden, ob folgende Familie reeller Zahlen $\begin{eqnarray*} (a_i)_i \in _\mathbb N \end{eqnarray*}$ summierbar oder uneigentlich summierbar ist

$\begin{eqnarray*} a_i=\alpha^i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also die Familie ist summierbar falls $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i\in \mathbb N } | a_i | < \infty \end{eqnarray*}$ und uneigentlich summierbar wenn der Wert der Reihe unendlich oder minus unendlich ist

Für $\begin{eqnarray*} \alpha = 0: \sum\limits_{i\in \mathbb N } | a_i | < \infty \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} \alpha = 1: \sum\limits_{i\in \mathbb N } | a_i | < \infty \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} \alpha=-1: \sum\limits_{i\in \mathbb N } | a_i | < \infty \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} \alpha=\infty: \sum\limits_{i\in \mathbb N } | a_i | \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} \alpha=-\infty: a_i= -\infty \end{eqnarray*}$ falls i ungerade, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ falls i gerade

Also ich würde daher sagen, dass die Familie uneigentlich summierbar ist, weil der Wert der Reihe insgesamt $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist.

Ist das richtig?

13.11.2013, 08:57

klarsoweit

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RE: Summierbarkeit zeigen

Zitat:

Original von Knanu
Für $\begin{eqnarray*} \alpha = 0: \sum\limits_{i\in \mathbb N } | a_i | < \infty \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} \alpha = 1: \sum\limits_{i\in \mathbb N } | a_i | < \infty \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} \alpha=-1: \sum\limits_{i\in \mathbb N } | a_i | < \infty \end{eqnarray*}$

Einfach hinschreiben, daß die Summe kleiner unendlich ist, ist ja ganz nett, aber die Begründung fehlt.

Zitat:

Original von Knanu
Für $\begin{eqnarray*} \alpha=\infty: \sum\limits_{i\in \mathbb N } | a_i | \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} \alpha=-\infty: a_i= -\infty \end{eqnarray*}$ falls i ungerade, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ falls i gerade

Was willst du mit diesen Fällen? Unendlich ist keine reelle Zahl. Stattdessen fehlen dir die Fälle, wo alpha nicht 0, 1 oder -1 ist.

13.11.2013, 10:46

Knanu

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Ok zunächst meine Begrüdung:

Für $\begin{eqnarray*} \alpha = 0: \sum\limits_{i\in \mathbb N } | a_i | < \infty \end{eqnarray*}$ Da gilt:
$\begin{eqnarray*} a_i=0^i=0 \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} \alpha = 1: \sum\limits_{i\in \mathbb N } | a_i | < \infty \end{eqnarray*}$ Da gilt:
$\begin{eqnarray*} a_i=1^i=1 \end{eqnarray*}$

Aber wie kann ich jetzt den Fall für alpha nicht 0,1, und -1?

13.11.2013, 10:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Knanu
Für $\begin{eqnarray*} \alpha = 1: \sum\limits_{i\in \mathbb N } | a_i | < \infty \end{eqnarray*}$ Da gilt:
$\begin{eqnarray*} a_i=1^i=1 \end{eqnarray*}$

So, so. Und wieviel dieser Summanden a_i gibt es?

Zitat:

Original von Knanu
Aber wie kann ich jetzt den Fall für alpha nicht 0,1, und -1?

Hast du schon mal was von "geometrischer Reihe" gehört?

13.11.2013, 10:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Knanu
Für $\begin{eqnarray*} \alpha = 1: \sum\limits_{i\in \mathbb N } | a_i | < \infty \end{eqnarray*}$ Da gilt:
$\begin{eqnarray*} a_i=1^i=1 \end{eqnarray*}$

Wenn wir hier $\begin{eqnarray*} a_i=1 \end{eqnarray*}$ einsetzen, ergibt das

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i\in \mathbb N } | a_i | = \sum\limits_{i\in \mathbb N } 1 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du meinst, dass dies eine konvergente Reihe ist (d.h. $\begin{eqnarray*} <\infty \end{eqnarray*}$ ), dann hast du wohl was ganz grundsätzliches zu Reihenkonvergenz nicht verstanden: Hier ist ja sogar das notwendige Konvergenzkriterium "Reihenglieder müssen eine Nullfolge bilden" verletzt. unglücklich

17.11.2013, 14:13

Knanu

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Tut mir leid, die Ana-Vorlesungen sind schon 2 Jahre her, habe aber jetzt alles nach gelesen.
Für $\begin{eqnarray*} \alpha = 0: a_i=0^i=0 \Rightarrow \sum\limits_{i=1 }^\infty 0=0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen 0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ summierbar

Für $\begin{eqnarray*} \alpha = -1: a_i=(-1)^i \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty (-1)^i=\lim_{k \to \infty } s_k \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} s_k \end{eqnarray*}$ = 0, falls k gerade; -1, falls k ungerade $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ divergent $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ uneigentlich summierbar

Für $\begin{eqnarray*} \alpha = 1: a_i=1^i \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^\infty 1^i=\lim_{k \to \infty } s_k \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ divergent $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ uneigentlich summierbar

Für $\begin{eqnarray*} | \alpha | < 1 \end{eqnarray*}$ : Wegen geometrische Reihe gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^\infty (\alpha)^i=\lim_{n \to \infty } \frac {1-\alpha^{n+1}}{1-\alpha} = \frac {1}{1-\alpha} < \infty \Rightarrow \end{eqnarray*}$ absolut konvergent $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ summierbar

Für $\begin{eqnarray*} | \alpha | \geq 1: \sum\limits_{i=1}^\infty (\alpha)^i=\lim_{n \to \infty } \frac {1-\alpha^{n+})}{1-\alpha} = \frac{-\infty}{1-\alpha}= \infty \Rightarrow \end{eqnarray*}$ divergent $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ uneingentlich summierbar

Kann ich das so schreiben?

18.11.2013, 08:02

klarsoweit

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Im Prinzip ja, allerdings ist die Reihe für alpha = -1 nicht uneigentlich summierbar und den letzten Fall solltest du nur für |alpha| > 1 betrachten.

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