Gewinnfunktion ermitteln

13.11.2013, 10:36

134340

Gewinnfunktion ermitteln

Moin

Ich habe die Kostenfunktion $\begin{eqnarray*} K(x)=25x^3-200x^2+600x+750 \end{eqnarray*}$ und die Erlösfunktion $\begin{eqnarray*} E(x)=530x \end{eqnarray*}$ gegeben. Nun soll ich die Höhe desmMaximal erreichbaren Gewinns berechnen. Dazu hatte ich die Idee: da zwischen den Schnittpunkten, von K (x) und E(x) für die $\begin{eqnarray*} K(x)\geq E(x) \end{eqnarray*}$ gilt, die Gewinnzone liegt, dachte ich mir, dass ich einfach das Integral von E(x) im Bereich der Schnittpunkte berechne und von diesem das Integral von K(x) innerhalb der Schnittpunkte subtrahiere. Dabei kam ich auf einen Wert von 2196,42. Das müsste doch jetzt der Gewinn sein, oder nicht?

13.11.2013, 10:44

adiutor62

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RE: Frage zu einer Gewinnfunktion
$\begin{eqnarray*} G(x)=E(x)-K(x) \end{eqnarray*}$

Gesucht ist:
$\begin{eqnarray*} G'(x)=0 \end{eqnarray*}$

Das ermittelte x musst du dann in G(x) einsetzen. Prüfe zuvor, ob das x auch das Maximum ist, falls du mehrere Extremstellen erhälst.

13.11.2013, 11:09

134340

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Stimmt eigentlich. Aber warum hat meine Methode nicht funktioniert? Die Flächenberechnung der Gewinnzone müsste doch eigentlich der Gewinn sein, oder nicht?

$\begin{eqnarray*} G'(x)=-25x^3+200x^2-70x-750 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G'(x)=-75x^2+400x-70 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G''(x)=-150x+400 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G'(x)=0 \to -75x^2+400x-70=0 \Rightarrow x_1=5,152 \wedge x_2=0,18115 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G''(5,15)=-150*5,15+400 = -372,5<0 \end{eqnarray*}$ es liegt also ein Maximum vor

Eingesetzt in die Ursprungsfunktion: $\begin{eqnarray*} G(5,15)=-25*5,15^3+200*5,15^2-70*5,15-750=779,23 \end{eqnarray*}$

13.11.2013, 11:21

adiutor62

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Um die Gewinnzone zu ermitteln, braucht man die Nullstellen der Gewinnfunktion G(x).
Der Bereich zwischen zwei Nullstellen, in dem die Funktion positiv ist, ist die Gewinnzone.

13.11.2013, 11:32

134340

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Dann hab ich wohl einfach falsch gedacht Big Laugh

Danke für deine Hilfe smile

14.11.2013, 00:11

chris_78

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RE: Gewinnfunktion ermitteln
Nochmal als Anmerkung zum Abschluß:

Zitat:

Original von 134340
...da zwischen den Schnittpunkten, von K (x) und E(x) für die $\begin{eqnarray*} K(x)\geq E(x) \end{eqnarray*}$ gilt, die Gewinnzone liegt,...

Du meintest sicherlich $\begin{eqnarray*} E(x)\geq K(x) \end{eqnarray*}$ ? Also den Bereich, wo die Erlöse größer sind als die Kosten? Da liegt dann nämlich in der Tat die Gewinnzone!

Ebenso ist natürlich auch adiutor62's Aussage betreffend der Gewinnzone richtig. Der Bereich in dem die Gewinnfunktion positive Funktionswerte hat, entspricht natürlich dem Bereich in dem $\begin{eqnarray*} E(x)\geq K(x) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von 134340...dachte ich mir, dass ich einfach das Integral von E(x) im Bereich der Schnittpunkte berechne und von diesem das Integral von K(x) innerhalb der Schnittpunkte subtrahiere. Dabei kam ich auf einen Wert von 2196,42. Das müsste doch jetzt der Gewinn sein, oder nicht?

Das Integral hast Du richtig berechnet. Die Fläche zwischen Erlösfunktion und Kostenfunktion im Bereich der Schnittpunkte beider Funktionen ist übrigems natürlich auch wieder gleich der Fläche zwischen Gewinnfunktion und x-Achse im Bereich der Nullstellen der Gewinnfunktion.
Doch diese Fläche ist eben nicht der Gewinn!
Eine sinnvolle ökonomische Interpretation dieser Fläche gibt es auch nicht.
Lässt sich auch an den Einheiten erkennen. Auf der x-Achse haben wir Mengeneinheiten (ME) und auf der y-Achse Geldeinheiten (GE). Eine Fläche hat dann somit die Einheit ME*GE. Also 2196,42 Stück*€ Damit lässt sich nunmal nichts anfangen.

14.11.2013, 09:01

134340

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Danke für diese Erläuterung, hat mir seeehr weiter geholfen smile

Gibt es denn noch eine andere Möglichkeit den Maximalgewinn zu berechnen die nicht über die Extremwertbetrachtung berechnet wird?

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