Linearität zeigen R^3 -> R^3 und Matrixdarstellung

13.11.2013, 18:02

Mathefail_2013

Linearität zeigen R^3 -> R^3 und Matrixdarstellung

Meine Frage:
Heyho,
ich bin Studienanfänger(Informatik) und bin mir nicht sicher, ob ich eine Aufgabe richtig, bzw. ausreichend gelöst habe.
Die Aufgabenstellung ist:
Gegeben sei die Abbildung
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3 \Rightarrow \mathbb R^3, \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} --> \begin{pmatrix} -7x + 4y -2z \\ y \\ 28x - 14y +8z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
1. Zeigen Sie, dass f linear ist und stellen sie f als Matrix dar.
...
Also, auf onlinetutorium.com wurde das ganze so erklärt:
Seien V und W $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ -Vektorräume. Eine Abbildung f:V->W heißt linear, wenn
$\begin{eqnarray*} f(v_{1} + v_{2} = f(v_{1}) + f(v_{2}) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f(\lambda * v) = \lambda * f(v) \end{eqnarray*}$
bzw. in einem Schritt:
$\begin{eqnarray*} f(v_{1} + \lambda * v_{2} ) = f(v_{1} ) + \lambda * f(v_{2}) \end{eqnarray*}$
wobei f.a $\begin{eqnarray*} v_{1}, v_{2} v \in V und \lambda \in \mathbb R^n gilt. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also, hier mein Lösungsansatz:
Ich habe den kürzeren Weg gewählt, also zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} f(v_{1} + \lambda * v_{2} ) = f(v_{1} ) + \lambda * f(v_{2}) \end{eqnarray*}$

Es gilt also zu zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} ) = f(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}) + \lambda * f(\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$
Dann mal los:
$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} -7x_1+4y_1-2z_1+ \lambda*(-7x_2+4y_2-2z_2) \\ y_1+ \lambda*y_2 \\ 28x_1-14y_1+8z_1 + \lambda *(28x_2 -14y_2+8z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}) + \lambda * f(\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix})= \begin{pmatrix} -7x_1+4y_1-2z_1+ \lambda*(-7x_2+4y_2-2z_2) \\ y_1+ \lambda*y_2 \\ 28x_1-14y_1+8z_1 + \lambda *(28x_2 -14y_2+8z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} ) = f(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}) + \lambda * f(\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ , da

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -7x_1+4y_1-2z_1+ \lambda*(-7x_2+4y_2-2z_2) \\ y_1+ \lambda*y_2 \\ 28x_1-14y_1+8z_1 + \lambda *(28x_2 -14y_2+8z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -7x_1+4y_1-2z_1+ \lambda*(-7x_2+4y_2-2z_2) \\ y_1+ \lambda*y_2 \\ 28x_1-14y_1+8z_1 + \lambda *(28x_2 -14y_2+8z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
was zeigen war. f ist also linear []
Ist das soweit richtig und ausreichend?
Ich bin immer etwas verwirrt mit den x1,y1... x2, y2.
Mit der Matrixdarstellung bin ich mir nicht sicher, wäre
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -7 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 28 & -14 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ richtig?
Wäre Klasse, wenn sich das Ganze jemand anschauen könnte. Vielen Dank im Vorraus smile

13.11.2013, 18:54

klarsoweit

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RE: Linearität zeigen R^3 -> R^3 und Matrixdarstellung
Jetzt wollen wir mal hoffen, daß du nicht identisch mit IXI bist. Siehe: Zeigen, dass eine Abbildung linear ist

Das Problem an dieser Aufgabe ist hier:

Zitat:

Original von Mathefail_2013
Gegeben sei die Abbildung
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3 \Rightarrow \mathbb R^3, \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} --> \begin{pmatrix} -7x + 4y -2z \\ y \\ 28x - 14y +8z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Rechts steht keine 3x3-Matrix, sondern eher eine 3x1-Matrix, obwohl die Abbildung nach R³ gehen soll. Falls die Abbildung dennoch nach R geht, ist der Beweis leider falsch, obwohl das richtige am Ende rauskommt. Vielleicht solltest du eher nicht die Kurz-Variante nehmen.

13.11.2013, 19:08

Mathefail_2013

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Haha, nein, das bin ich nicht. Jedoch scheinbar eindeutig jemand aus meinem Kurs Big Laugh

Wie meinst du das, "wenn sie nach R geht"? Die Abbildung geht von R^3 nach R^3.
Und wie kann der Beweis falsch sein, wenn das richtige am Ende herauskommt? Ich bin gerade etwas verwirrt smile

14.11.2013, 08:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathefail_2013
Die Abbildung geht von R^3 nach R^3.

Da paßt aber nicht dein Latexcode für die Abbildung zu. Da schreibst du, daß der Vektor (x, y, z) auf

code:
1:	\begin{pmatrix} -7x + 4y -2z \\ y \\ 28x - 14y +8z \end{pmatrix}

abgebildet wird. Das ist eindeutig eine 3x1-Matrix und keine 3x3-Matrix. Für eine 3x3-Matrix müßte z.B. sowas da stehen:

code:
1:	\begin{pmatrix} -7x & 4y & -2z \\ ? & y & ? \\ 28x & 14y & 8z \end{pmatrix}

Das sieht dann so aus: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -7x & 4y & -2z \\ ? & y & ? \\ 28x & 14y & 8z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

EDIT: obiges ist Unfug. Sorry. Einafch überlesen. Hammer

Zitat:

Original von Mathefail_2013
Und wie kann der Beweis falsch sein, wenn das richtige am Ende herauskommt? Ich bin gerade etwas verwirrt smile

Das Problem ist an dieser Stelle:

Zitat:

Original von Mathefail_2013
Dann mal los:
$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} -7x_1+4y_1-2z_1+ \lambda*(-7x_2+4y_2-2z_2) \\ y_1+ \lambda*y_2 \\ 28x_1-14y_1+8z_1 + \lambda *(28x_2 -14y_2+8z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zunächst ist $\begin{eqnarray*} f \left(\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} \right) = f \left(\begin{pmatrix} x_1 + \lambda \cdot x_2\\ y_1 + \lambda \cdot y_2 \\ z_1 + \lambda \cdot z_2 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt überlege, was das Bild von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 + \lambda \cdot x_2\\ y_1 + \lambda \cdot y_2 \\ z_1 + \lambda \cdot z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gemäß der Definition der Abbildung f ist. Jedenfalls zunächst nicht das, was du geschrieben hast. Erst ein / zwei Schritte später kommt das so raus. Aber genau das ist ja eben zu zeigen.

14.11.2013, 12:34

Mathefail_2013

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Erstmal vielen Dank für die Antwort.
Ich hab dann mal mal Weg 1, das getrennte Nachweisen durchgeführt:
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3 \Rightarrow \mathbb R^3, \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} --> \begin{pmatrix} -7x + 4y -2z \\ y \\ 28x - 14y +8z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
1. Lineare Bedingung:
$\begin{eqnarray*} f(v_{1} + v_{2}) = f(v_{1})+f(v_{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(v_{1} + v_{2}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \end{pmatrix} = f(\begin{pmatrix} -7x_1+-7x_2+4y_1+4y_2-2z_1-2z_2 \\ y_1+y_2 \\ 28x_1+28x_2-14y_1-14y_2+8z_1+8z_2 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f( \begin{pmatrix} -7(x_1+x_2)+4(y_1+y_2)-2(z_1+z_2) \\ y_1+y_2 \\ 28(x_1+x_2)-14(y_1+y_2)+8(z_1+z_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(v_{1})+f(v_{2}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f( \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix})+f( \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f( \begin{pmatrix} -7x_1+4y_1-2z_1 \\ y_1 \\ 28x_1-14y_1+8z_1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} -7x_2+4y_2-2z_2 \\ y_2 \\ 28x_2-14y_2+8z_2 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} f( \begin{pmatrix} -7(x_1+x_2)+4(y_1+y_2)-2(z_1+z_2) \\ y_1+y_2 \\ 28(x_1+x_2)-14(y_1+y_2)+8(z_1+z_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es gilt also, dass $\begin{eqnarray*} f(v_{1} + v_{2}) = f(v_{1})+f(v_{2}) \end{eqnarray*}$

Ist die rerste Bedinung soweit korrekt durchgeführt?
lg

14.11.2013, 12:47

Mathefail_2013

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Hier übrigens noch der korrekte Latex-Code für die Abbildungsvorschrift:
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^3 \Rightarrow \mathbb R^3, \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} --> \begin{pmatrix} -7x+4y-2z \\ y \\ 28x-14y+8z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Hoffe, das wird jetzt korrekt angezeigt.

14.11.2013, 12:51

klarsoweit

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Es sind immer diesen kleinen formalen Dinge. So ist es richtig:

$\begin{eqnarray*} f(v_{1} + v_{2}) = f\begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7(x_1+x_2)+4(y_1+y_2)-2(z_1+z_2) \\ y_1+y_2 \\ 28(x_1+x_2)-14(y_1+y_2)+8(z_1+z_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} -7x_1-7x_2+4y_1+4y_2-2z_1-2z_2 \\ y_1+y_2 \\ 28x_1+28x_2-14y_1-14y_2+8z_1+8z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(v_{1})+f(v_{2}) = f( \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix})+f( \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} -7x_1+4y_1-2z_1 \\ y_1 \\ 28x_1-14y_1+8z_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -7x_2+4y_2-2z_2 \\ y_2 \\ 28x_2-14y_2+8z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} -7x_1- 7x_2+ 4y_1+ 4y_2 - 2z_1- 2z_2 \\ y_1+y_2 \\ 28x_1 + 28x_2 - 14y_1 - 14y_2 + 8z_1 + 8z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Übrigens: was ich zum Thema "Abbildung nach R³" gesagt habe, war irgendwie Unfug. Sorry. Ich muß mal meine Hirnwindungen überprüfen. Big Laugh

14.11.2013, 13:29

Mathefail_2013

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Jjaja die Formalitäten... ich verstehe nicht ganz, warum der "umgekehrte Weg", also zuerst ausklammern und dann wieder auseinanderziehen richtig ist, aber ich vertraue ihnen dann ganz einfach mal smile

Mein zweiter Nachweisteil lautet dann:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^3 \Rightarrow \mathbb R^3, \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} --> \begin{pmatrix} -7x+4y-2z \\ y \\ 28x-14y+8z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Zweite lineare Bedingung:
$\begin{eqnarray*} f(\lambda *v) = \lambda *f(v) , \lambda \in \mathbb R, v \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\lambda *v)= \begin{pmatrix} \lambda_1*x \\ \lambda_2*y \\ \lambda_3*z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda_1*(-7x+4y-2z) \\ \lambda_2*y \\ \lambda_3*(28x-14y+8z) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -7x\lambda_1+4y\lambda_1-2z\lambda_1 \\ y\lambda_2 \\ 28x\lambda_3-14y\lambda_3+8z\lambda_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda * f(v) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda_1*x \\ \lambda_2*y \\ \lambda_3*z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda_1*(-7x+4y-2z) \\ \lambda_2*y \\ \lambda_3*(28x-14y+8z) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -7x\lambda_1+4y\lambda_1-2z\lambda_1 \\ y\lambda_2 \\ 28x\lambda_3-14y\lambda_3+8z\lambda_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, diesmal ist es gleich richtig ^^.
Eine letzte Frage hätte ich dann noch, und zwar wie ich diese Abbildungsvorschrift als Matrix darstellen kann.
War meine, im Eingangspost ganz unten gezeigte Matrix richtig oder muss ich da anders rangehen?
lg

14.11.2013, 14:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathefail_2013
ich verstehe nicht ganz, warum der "umgekehrte Weg", also zuerst ausklammern und dann wieder auseinanderziehen richtig ist

Also zunächst ist $\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ y_1+y_2 \\ z_1+z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7(x_1+x_2)+4(y_1+y_2)-2(z_1+z_2) \\ y_1+y_2 \\ 28(x_1+x_2)-14(y_1+y_2)+8(z_1+z_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aus folgendem Grund:

Die Abbildungsvorschrift besagt für die 1. Komponente des Bildvektors: nimm das -7-fache der 1. Komponente des Urbildvektors (das ist -7 * (x_1 + x_2) ), addiere das 4-fache der 2. Komponente des Urbildvektors (das ist 4 * (y_1 + y_2) ) und addiere dann das -2-fache der 3. Komponente des Urbildvektors (das ist -2 * (z_1 + z_2) ) . Dann erst kann man die Klammern ausmultiplizieren und umsortieren. smile

Zitat:

Original von Mathefail_2013
$\begin{eqnarray*} f(\lambda *v)= \begin{pmatrix} \lambda_1*x \\ \lambda_2*y \\ \lambda_3*z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda_1*(-7x+4y-2z) \\ \lambda_2*y \\ \lambda_3*(28x-14y+8z) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ [/latex]

Auch hier gilt erstens das oben Gesagte und zweitens ist lambda ein Skalar und kein Vektor.

Zitat:

Original von Mathefail_2013
War meine, im Eingangspost ganz unten gezeigte Matrix richtig oder muss ich da anders rangehen?

Die Matrix ist richtig bezüglich der Standardbasis von R³. Rein formal müßte hier aber noch eine Begründung her.

EDIT: kleine Korrektur im letzten Satz.

14.11.2013, 17:38

Mathefail_2013

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Ich wurde erleuchtet. Danke vielmals smile

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