konvergenz

13.11.2013, 20:49

math_2013

konvergenz

Meine Frage:
\lim _{n \to \infty } \sqrt{n}*(\sqrt[n]{n}-1)=0

Hi,
bei der Aufageb dürfen wir verwenden, dass \lim_{n \to \infty } n \sqrt[n]{n}=1, jedoch hab ich keine Ahnung, wie ich bei der Aufgabe anfangen soll.

Meine Ideen:
\sqrt[n]{n}-1 muss man irgendwie abschätzen

13.11.2013, 20:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von math_2013
bei der Aufageb dürfen wir verwenden, dass \lim_{n \to \infty } n \sqrt[n]{n}=1

Auwei, das sieht man doch auf Anhieb, dass das falsch ist. Schau nochmal nach, was da wirklich stand.

13.11.2013, 21:00

Math_2013

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oh ja das eine n muss weg

13.11.2013, 21:02

Math_2013

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gemeint war

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n}=1 \end{eqnarray*}$

13.11.2013, 21:46

HAL 9000

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Tja, ich weiß nicht so richtig, wie dieser Tipp helfen soll, für den folgenden Weg wird er nicht gebraucht:

Dieses $\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{n}\cdot (\sqrt[n]{n}-1) \end{eqnarray*}$ umgeformt ergibt

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} = 1 + \frac{a_n}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Potenziert mit einem passenden ganzzahligen $\begin{eqnarray*} m>0 \end{eqnarray*}$ kann man rechts per Bernoullischer Ungleichung $\begin{eqnarray*} (1+x)^m \geq 1+mx \end{eqnarray*}$ abschätzen, man hat also

$\begin{eqnarray*} n^{\frac{m}{n}} \geq 1 + \frac{m}{\sqrt{n}} \cdot a_n > \frac{m}{\sqrt{n}} \cdot a_n \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} m=\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor \end{eqnarray*}$ kann man wegen $\begin{eqnarray*} \frac{n-3}{4} \leq m \leq \frac{n}{4} \end{eqnarray*}$ dann weiter abschätzen.

$\begin{eqnarray*} n^{\frac{n}{4n}} > \frac{n-3}{4\sqrt{n}} \cdot a_n \end{eqnarray*}$ , für n>3 gilt also

$\begin{eqnarray*} 0 \leq a_n < \frac{4n^{\frac{3}{4}}}{n-3} \end{eqnarray*}$ .

Die rechte Seite dieser letzten Ungleichung geht für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ offenbar gegen Null, per Sandwich folgt die Behauptung.

P.S.: Die obige zu beweisende Grenzwertaussage kann mit Landau-Symbolen geschrieben werden als $\begin{eqnarray*} (\sqrt[n]{n}-1) \in o\left( \frac{1}{\sqrt{n}} \right) \end{eqnarray*}$ .

Eine genauere Aussage über die Größenordnung von $\begin{eqnarray*} (\sqrt[n]{n}-1) \end{eqnarray*}$ beim Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ergibt sich aus dem Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\ln(n)} \cdot (\sqrt[n]{n}-1) = 1 \end{eqnarray*}$ ,

d.h. mit Landau-Symbolen geschrieben ist dann $\begin{eqnarray*} (\sqrt[n]{n}-1) \in \Theta\left( \frac{\ln(n)}{n} \right) \end{eqnarray*}$ .

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