Fourierreihe entwickeln Grenzen

13.11.2013, 21:08

taccos

Fourierreihe entwickeln Grenzen

Hallo!

Ich habe ein Problem mit folgendem Beispiel:

Intervall [-pi,0) Funktion f(x) = x

Diese soll ich periodisch fortsetzen und in eine Fourierreihe entwickeln.

Um das BSP zu vereinfachen verschiebe ich die Funktion um pi/2 um eine ungerade Funktion zu erhalten. Dadurch gilt ak = 0

So bleiben nur noch a0 und bk zu berechnen

a0 war kein Problem und sollte -pi sein, man verwendet dazu f(x)

Für bk verwede ich jetzt g(x) = f(x) + pi/2

Da ich jetzt eine gerade Funktion auf einem symmetrischen Intervall habe kann ich auch schreiben:

Ich verwende als Intervall die Periodendauer pi,...[-pi/2,pi/2]

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{\pi } \cdot \int_\frac{-\pi }{2} ^0 \! g(x)\cdot \sin(2kx) \, dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich das löse komme ich auf -1/k für bk.

Das ist aber falsch, die Lösung müsste

$\begin{eqnarray*} -\frac{1+(-1)^{k} }{k} \end{eqnarray*}$ sein.

Auf diese Lösung komme ich auch wenn ich das Intervall [-pi,pi] verwende

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi } \cdot \int_{-\pi}^0 \! g(x)\cdot \sin(kx) \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Frage, warum kann ich mit der Periodendauer, also dem kleinste möglichen Intervall nicht rechnen (in diesem Beispiel!!!!! Denn sonst hat es bis jetzt immer geklappt)??? Und warum funktioniert es mit einem Vielfachen des Intervalls???

Danke für die schnelle Hilfe

LG taccos

14.11.2013, 08:18

Christian_P

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hi taccos

bei

$\begin{eqnarray*} [-\pi ; 0) \quad f(x)=x \end{eqnarray*}$

kann man ja verschiedenartig fortsetzen. Zum Beispiel wie hier (grüne Kurve)

Dann wäre die periodische Fortsetzung weder gerade noch ugerade
und man kann nichts abkürzen.

Am besten man zeichnet sich allgemein die Fortsetzung mal ins Koordinatensystem,
dann sieht man es besser.

Gruß

14.11.2013, 11:32

taccos

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Vielen Dank für die schnelle Antwort

aber genauso wie die grüne Linie wird sie fortgesetzt. Ich habe das
Intervall [-pi,0) gegeben und soll es periodisch fortsetzen, dh. ich setze
f(x)= x für -pi bis 0 ein dann kommt die rote linie bis zum Nullpunkt raus und das periodisch fortgesetzt ist die grüne Linie. das ist weder ungerade noch gerade was auch vollkommen korrekt ist.

ABER: deshalb verschiebe ich ja die funktion f(x) um pi/2 und erhalte dadurch

g(x)= f(x) + pi/2

und dann erhalte ich sehr wohl eine ungerade Funktion, mit Periodendauer pi

und dann folgt meine Frage warum die Rechnung mit Intervall = Periodendauer pi (Integralgrenzen von -pi/2 bis pi/2) nicht Funktioniert mit

Intervall = 2 mal Periodendauer = 2pi (Integralgrenzen -pi bis pi) allerdings schon

LG taccos

14.11.2013, 11:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von taccos
ABER: deshalb verschiebe ich ja die funktion f(x) um pi/2 und erhalte dadurch

g(x)= f(x) + pi/2

Also damit verschiebst du die Funktion um pi/2 nach oben, aber nicht nach links oder rechts.

14.11.2013, 14:16

taccos

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Um alle auf das Verständnis zu bringen wie ich die Funktion dazu bringe ungerade zu sein: Ich verschiebe sie um pi/2 in y Richtung dh. rauf
und durch den gezeichneten Graphen sieht man jetzt hoffentlich dass daraus eine ungerade Funktion entsteht:

Grün ist die periodische Fortsetzung von der roten Funktion
(von -pi/2 bis pi/2 sieht man sehr schön dass die Funktion jetzt ungerade ist)

die neue Funktion heißt g(x) = f(x) + pi/2 = x + pi/2
Okay das sollte jetzt geklärt sein

nun zu meiner Frage:

Warum kommt mir wenn ich für das Integral zur Berechnung von bk die Periodendauer einsetze was falsches raus
Periodendauer= pi Integralgrenzen: -pi/2 bis pi/2

und Warum wenn ich ein Vielfaches der Periodendauer einsetze das Richtige
Periodendauer= 2pi Integralgrenzen -pi bis pi

Normalerweise sollte es ja egal sein ob ich die Periodendauer oder ein Vielfaches davon nehme es sollte ja die Fourierreihe mit dem gleichen Ergebnis rauskommen,....

Die Formelbeschreibungen bitte dem ersten Post entnehmen,...

Bitte um Hilfe bin schon am verzweifeln weil ich es einfach nicht erkenne =(

14.11.2013, 16:02

klarsoweit

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RE: Fourierreihe entwickeln Grenzen

Zitat:

Original von taccos
Wenn ich das löse komme ich auf -1/k für bk.

Das ist aber falsch, die Lösung müsste

$\begin{eqnarray*} -\frac{1+(-1)^{k} }{k} \end{eqnarray*}$ sein.

Auf diese Lösung komme ich auch wenn ich das Intervall [-pi,pi] verwende

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi } \cdot \int_{-\pi}^0 \! g(x)\cdot \sin(kx) \, dx \end{eqnarray*}$

Werf mal einen Blick auf die resultierende Fourierreihe:

Für b_k = -1/k ist das irgendwas mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin(2kx) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} b_k = -\frac{1+(-1)^{k}}{k} \end{eqnarray*}$ ist das irgendwas mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin(kx) \end{eqnarray*}$

Da ist es doch gut, wenn die Summanden im 2. Fall mit ungeradem k entfallen. Augenzwinkern

EDIT: kleine Korrektur: in der Reihe muß sin statt cos stehen.

14.11.2013, 16:37

taccos

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Vielen Dank für die schnelle Antwort!

Soweit war ich auch schon und hab mich gefreut aber da tritt das nächste Problem auf:

im ersten Fall habe ich immer -1/k * sin(2kx)

dh. ich habe immer einen einser überm Bruchstrich

aber im anderen Fall habe ich bei positivem k dann -2/k * sin(kx)

und 2*sin(kx) ist ja nicht gleich sin(2kx) und genau da scheitert es wieder =(

ich komm einfach nicht dahinter, aber ich vermute dass das auch so in die Richtung geht,...und so ne Rechenregelspielerei ist,.... =D

Habs mir jz von Wolfram-Alpha zeichnen lassen, die Fourierreihenentwicklung stimmt für beide, also muss es richtig sein =D haha nehmen wir es einfach mal so hin,...

Vielen Dank für die Hilfe

15.11.2013, 08:37

klarsoweit

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RE: Fourierreihe entwickeln Grenzen

Zitat:

Original von taccos
aber im anderen Fall habe ich bei positivem k dann -2/k * sin(kx)

Du meinst vermutlich "gerades k". Wenn wir mal das a_0 weglassen, haben wir die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1 - (-1)^{k}}{k} \cdot sin(kx) \end{eqnarray*}$ .

Die Summanden für ungerade k entfallen. Für gerade k können wir k = 2n setzen. Das ergibt dann die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1 - (-1)^{2n}}{2n} \cdot sin(2nx) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-1}{n} \cdot sin(2nx) \end{eqnarray*}$ . Und voilà. Augenzwinkern

15.11.2013, 12:21

taccos

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HAHA!!!

Danke Augenzwinkern

Sag ja ne Rechenregelspielerei....=P

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