stochastische Konvergenz

13.11.2013, 23:13	Spark22	Auf diesen Beitrag antworten »
stochastische Konvergenz Hallo zusammen, ich habe gerade in der Vorlesung die Konvergenzbegriffe P-fast sicher und P-stochastisch kennengelernt und scheitere dabei prompt an einer Aufgabe. Ich stelle sie einfach mal vor und sage dann was ich nicht verstehe. Sei $\begin{eqnarray} (X_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray}$ eine Folge von Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{A},P) \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist dann, dass aus $\begin{eqnarray} P(\{\omega\in\Omega : lim_{n\to\infty} X_n(\omega) = \infty\}) = 1 \end{eqnarray}$ folgt, dass für jedes $\begin{eqnarray} c > 0 \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} P(X_n\le c)\to 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ . Vom logischen her, habe ich die Aufgabe schon verstanden, weiß aber nicht was da zu zeigen ist. Soweit ich das verstanden habe, ist doch $\begin{eqnarray} P(\{\omega\in\Omega : lim_{n\to\infty} X_n(\omega) = \infty\}) = 1 \end{eqnarray}$ die fast sichere Konvergenz dafür, dass die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ gegen unendlich gehen. Beziehungsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür 1. Dann ist doch irgendwie selbstverständlich, dass die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P(X_n\le c) \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ gehen muss, wenn $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ nicht unendlich ist. Ist es denn so, dass ich zeigen soll, dass aus der fast sicheren Konvergenz die stochastische Konvergenz folgt?

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