Differentialgleichungen

14.11.2013, 09:54

M1a

Differentialgleichungen

Meine Frage:
Guten Morgen!
Ich habe bei einer Aufgabe Schwierigkeiten:
Es ist $\begin{eqnarray*} (\sin(x)-x\cos(x)-3^2(y-x)^2dx+(3x^2(y-x)^2)dy=0 \end{eqnarray*}$
Nun soll ein möglichst großes Gebiet $\begin{eqnarray*} U \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ und eine Funktion $\begin{eqnarray*} G:U \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \nabla G \neq (0,0) \end{eqnarray*}$ bestimmt werden, die auf jeder Lösung der Differentialgleichung konstant ist.

Meine Ideen:
Ich habe mir folgendes überlegt:
Zuerst müsste man die Differentialgleichung lösen und hätte dann die Funktion G, oder?
Aber weiter komme ich nicht.

Könnte mir jemand weiter helfen?
Danke schon mal im voraus!!

14.11.2013, 10:03

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor wir hier möglicherweise über die falsche Formel diskutieren: Überprüfe mal gründlich die Zeile

Zitat:

Original von M1a
Es ist $\begin{eqnarray*} (\sin(x)-x\cos(x)-3^2(y-x)^2dx+(3x^2(y-x)^2)dy=0 \end{eqnarray*}$

zumindest mit den Klammern stimmt was nicht im linken dx-Teil. Das $\begin{eqnarray*} 3^2 \end{eqnarray*}$ (warum nicht gleich 9 schreiben) erscheint mir auch etwas verdächtig, wenn auch nicht notwendig falsch.

14.11.2013, 10:08

M1a

Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt, dankeschön smile

also jetzt nochmal richtig:

$\begin{eqnarray*} (\sin(x)-x\cos(x)-3x^2(y-x)^2)dx+(3x^2(y-x)^2)dy=0 \end{eqnarray*}$

14.11.2013, 10:26

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest als erstes überprüfen, ob es sich um eine Exakte Differentialgleichung handelt. Hier konkret heißt das, ob

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial y} (\sin(x)-x\cos(x)-3x^2(y-x)^2) \stackrel{?}{=} \frac{\partial}{\partial x} (3x^2(y-x)^2) \end{eqnarray*}$

gilt. Falls ja - prima, dann bist du ja fast schon fertig. Falls nein, dann kannst du immer noch versuchen, einen Integrierenden Faktor für diese DGL zu finden.

14.11.2013, 10:44

M1a

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider stimmt die Gleichheit nicht unglücklich

Das heißt, ich muss jetzt einen integrierenden Faktor finden und diesen dann vor beide Gleichungen multiplizieren, oder?
Aber wie finde ich so einen Faktor, kann man diesen irgendwie berechnen oder muss man ihn "erraten"?

14.11.2013, 11:05

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Erraten? Vielleicht, oder auch systematisch probieren:

Ok, nennen wir den integrierenden Faktor $\begin{eqnarray*} \mu=\mu(x,y) \end{eqnarray*}$ , wie im Wikipedia-Eintrag, mit den Abkürzungen $\begin{eqnarray*} \mu_x = \frac{\partial}{\partial x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu_y = \frac{\partial}{\partial y} \end{eqnarray*}$ für dessen partielle Ableitungen. Dann ist nach Produktregel

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial y} (\mu(x,y)\cdot (\sin(x)-x\cos(x)-3x^2(y-x)^2)) = \mu_y\cdot (\sin(x)-x\cos(x)-3x^2(y-x)^2)) - \mu\cdot 6x^2(y-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x} (\mu(x,y)\cdot 3x^2(y-x)^2) = \mu_x\cdot 3x^2(y-x)^2 + \mu\cdot (6x(y-x)^2 -6x^2(y-x)) \end{eqnarray*}$

Wir suchen ja nun ein $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ , für das diese beiden Ableitungen gleich sind - also setzen wir mal die beiden rechten Terme gleich und vereinfachen etwas, indem wir links und rechts erscheinende gemeinsame Summanden eliminieren:

$\begin{eqnarray*} \mu_y\cdot (\sin(x)-x\cos(x)-3x^2(y-x)^2)) - \mu\cdot 6x^2(y-x) = \mu_x\cdot 3x^2(y-x)^2 + \mu\cdot (6x(y-x)^2 -6x^2(y-x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu_y\cdot (\sin(x)-x\cos(x)-3x^2(y-x)^2)) = \mu_x\cdot 3x^2(y-x)^2 + \mu\cdot 6x(y-x)^2 \end{eqnarray*}$

Unangenehm sieht vor allem die linke Seite aus. Wenn wir nun einfach mal annehmen, dass $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ nicht von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängt, d.h. dass einfach nur $\begin{eqnarray*} \mu=\mu(x) \end{eqnarray*}$ ist: Dann haben wir $\begin{eqnarray*} \mu_y=0 \end{eqnarray*}$ und es folgt

$\begin{eqnarray*} 0 = \mu_x\cdot 3x^2(y-x)^2 + \mu\cdot 6x(y-x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = \mu_x\cdot x + 2\mu \end{eqnarray*}$ .

Die Tatsache, dass das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ dann hier verschwunden ist, rechtfertigt im Nachhinein die Annahme der Unabhängigkeit des $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Den Rest kriegst du nun allein hin, oder? Augenzwinkern

14.11.2013, 11:47

M1a

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich hab das $\begin{eqnarray*} \mu(x) \end{eqnarray*}$ berechnet. Das heißt ich muss jetzt um G herauszubekommen, nur noch die Funktionen multipliziert mit $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ aufleiten? Und anschließend schauen, wann $\begin{eqnarray*} \nabla G =0 \end{eqnarray*}$ und so bekomme ich dann die größtmögliche Menge U ??

14.11.2013, 12:05

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Von aufleiten verstehe ich nichts. Du musst nun eine Funktion $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ finden, die sowohl Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \mu\cdot (\sin(x)-x\cos(x)-3x^2(y-x)^2) \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als auch Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \mu\cdot 3x^2(y-x)^2 \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist. D.h. integrieren bzgl. der einen Variable (etwa x) und dann wieder differenzieren nach der anderen Variable (dann y) - ähnlich wie ich es hier

Parametrisierung von Kurvenintegralen

beschrieben habe. Wie $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ aussieht ergibt sich dann schon aus der Gestalt von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

14.11.2013, 21:05

M1a

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme bei der Aufgabe immer noch nicht weiter, denn jetzt weiß ich nicht wie ich die Stammfunktion von sin(x)/(x^2) bestimmen soll....

14.11.2013, 21:13

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Brauchst du doch auch gar nicht, sondern die von $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)-x\cos(x)}{x^2} \end{eqnarray*}$ , was im Endeffekt einfacher ist!

Tipp: Lass dich einfach mal von der Quotientenregel $\begin{eqnarray*} \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2} \end{eqnarray*}$ inspirieren.

14.11.2013, 21:49

M1a

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Differentialgleichungen
Danke, jetzt habe ich es hinbekommen. Ich jetzt noch eine letzte Frage.
Die Höhenlinien habe mir jetzt eingezeichnet. Ist die Menge U die Menge aller Punkt (x,y) an denen die Höhenlinien einen konstanten Wert annehmen?

Zitat:

Original von M1a
Nun soll ein möglichst großes Gebiet $\begin{eqnarray*} U \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ und eine Funktion $\begin{eqnarray*} G:U \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \nabla G \neq (0,0) \end{eqnarray*}$ bestimmt werden, die auf jeder Lösung der Differentialgleichung konstant ist.

Neue Frage »

Antworten »

Differentialgleichungen

Verwandte Themen