Messbarkeit v. Funktionenfolgen/Grenzfunktion

14.11.2013, 10:36

steviehawk

Messbarkeit v. Funktionenfolgen/Grenzfunktion

Meine Frage:
Hallo Leute, ich soll folgendes zeigen:

(i)
Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{F}) \end{eqnarray*}$ ein messbarer Raum und $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ Folge messbarer Funktionen auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ . Dann sind auch $\begin{eqnarray*} \overline{f} : = \limsup_{n \to \infty} f_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \underline{f} = \liminf_{n \to \infty} f_n \end{eqnarray*}$ messbar.

(ii)
Sind alle $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ reellwertig, so ist $\begin{eqnarray*} \overline{f} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \underline{f} \end{eqnarray*}$ Borel - messbar.

Meine Ideen:
Also ich habe schon so ne Idee wie das gehen soll, aber ich verstehe nicht, was ich bei (i) und (ii) anders machen soll?

Ich fang mal an: Ich zeige zuerst, dass $\begin{eqnarray*} sup f_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} inf f_n \end{eqnarray*}$ messbar sind. Dazu:

$\begin{eqnarray*} \{ \omega \in \Omega | f_n(\omega) \leq t \} \end{eqnarray*}$ ist messbar, da $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ messbar ist. Die Vereinigung messbarer Menge ist messbar, also: $\begin{eqnarray*} \bigcup \{ \omega \in \Omega | f_n(\omega) \leq t \} = sup f_n \end{eqnarray*}$

analog mit Schnitt für $\begin{eqnarray*} inf (f_n) \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt: $\begin{eqnarray*} \liminf_{n \to \infty} (f_n) = \sup_{n \to \infty} (\inf_{k \geq n} f_k) \end{eqnarray*}$ und da sup und inf messbar sind ist die linke Seite messbar,

Nun gilt: $\begin{eqnarray*} \limsup_{n \to \infty} (f_k) ) = \inf_{n \to \infty} (\sup_{k \geq n } f_k) \end{eqnarray*}$ und das inf und sup messbar sind ist die linke Seite messbar.

Was ist denn jetzt anders zu machen, wenn ich reellwertige Funktionen habe? Oder ist das eigentich ein "insbesondere" das aus (i) schon folgt, und nur extra erwähnt wurde, weil es wichtig ist?

EDIT: Es doch:

$\begin{eqnarray*} (\sup_{n \in \mathbb N} f_n )(x) = \sup_{n \in \mathbb N} f(x) \end{eqnarray*}$

wenn nun: $\begin{eqnarray*} \{ \omega \in \Omega | f_n(\omega) \leq t \} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ messbar ist, dann gilt doch sofort, dass: $\begin{eqnarray*} \{ \omega \in \Omega | \sup_{n \in \mathbb N} f_n(\omega) \leq t \} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ messbar ist oder kann da im supremum noch was passieren?

14.11.2013, 18:50

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Messbarkeit v. Funktionenfolgen/Grenzfunktion
wäre toll, wenn sich das noch jemand durchlesen könnte, wäre gerne noch etwas fleißig heute Abend Wink

Vielen Dank liebes Matheboard

14.11.2013, 19:11

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von steviehawk
Die Vereinigung messbarer Menge ist messbar, also: $\begin{eqnarray*} \bigcup \{ \omega \in \Omega | f_n(\omega) \leq t \} = sup f_n \end{eqnarray*}$

Ich muss da erneut die Schlampigkeit anprangern:

$\begin{eqnarray*} \bigcup_n \{ \omega \in \Omega | f_n(\omega) \leq t \} \end{eqnarray*}$ ist eine Menge, $\begin{eqnarray*} \sup_n f_n \end{eqnarray*}$ aber eine Funktion.

Falls du

$\begin{eqnarray*} \bigcup_n \{ \omega \in \Omega \bigm| f_n(\omega) \leq t \} \stackrel{?}{=} \{ \omega \in \Omega \bigm| \sup_n f_n(\omega) \leq t \} \end{eqnarray*}$

meinen solltest, auch das ist leider falsch: Tatsächlich stimmt

$\begin{eqnarray*} \bigcap_n \{ \omega \in \Omega \bigm| f_n(\omega) \leq t \} = \{ \omega \in \Omega \bigm| \sup_n f_n(\omega) \leq t \} \end{eqnarray*}$

oder in Kurzschreibweise (die du ja auch im anderen Thread schon benutzt hast)

$\begin{eqnarray*} \bigcap_n \{ f_n \leq t \} = \{ \sup_n f_n \leq t \} \end{eqnarray*}$ .

14.11.2013, 19:32

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Korrektur:

$\begin{eqnarray*} \bigcap_n \{ \omega \in \Omega \bigm| f_n(\omega) \leq t \} = \{ \omega \in \Omega \bigm| \sup_n f_n(\omega) \leq t \} \end{eqnarray*}$

diese Gleichheit ist mir nicht ganz klar.

Kannst du da noch ein Wort dazu verlieren? Dann habe ich wohl erst mal genug Hilfe bekommen Freude

Also ich habe es mir mal so klar gemacht: $\begin{eqnarray*} \Omega = \{ 1,2,3,4,5 \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_1 = 0, f_2 = \omega , f_3 = \omega^2 \end{eqnarray*}$ mal bis hier

es gilt dann: $\begin{eqnarray*} \{ \omega \in \Omega | f_1 (\omega) < 10 \} = \{ 1,2,3,4,5\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{ \omega \in \Omega | f_2 (\omega) < 10 \} = \{ 1,2,3,4,5\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{ \omega \in \Omega | f_3 (\omega) < 10 \} = \{ 1,2,3\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sup_{n=1,2,3} f_n = f_3 \end{eqnarray*}$ also

$\begin{eqnarray*} \{ \omega \in \Omega | \sup_{n=1,2,3} (\omega) < 10 \} = \{ 1,2,3\} \end{eqnarray*}$

und das ist gleich dem Schnitt von den anderen.

Jetzt sehe ich es ein.

14.11.2013, 19:48

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \bigcap_n \{ \omega \in \Omega \bigm| f_n(\omega) \leq t \} \end{eqnarray*}$ enthält diejenigen $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} f_n(\omega)\leq t \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt. Demnach ist auch deren Supremem $\begin{eqnarray*} \leq t \end{eqnarray*}$ , usw. ... ich schreibe diesen langweiligen Sermon nicht vollständig für dich auf - mach das selber.

14.11.2013, 19:51

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

ja habs mir schon klar gemacht, nur nicht so schön präzise! Danke HAL nun bist du für heute erlöst Wink

Neue Frage »

Antworten »

Messbarkeit v. Funktionenfolgen/Grenzfunktion

Verwandte Themen