Schwache Ableitung verschwindet => Funktion konstant?

14.11.2013, 11:45

tennisguru

Schwache Ableitung verschwindet => Funktion konstant?

Ok, folgende Situation: Ich habe ein Gebiet $\begin{eqnarray*} G \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und darauf eine Funktion $\begin{eqnarray*} u \in H_0^1(G) \end{eqnarray*}$ (d.h. die schwachen Ableitungen erster Ordnung liegen in $\begin{eqnarray*} L^2(G) \end{eqnarray*}$ und es gilt - salopp geschrieben - $\begin{eqnarray*} u|_{\partial G} = 0 \end{eqnarray*}$ ). Weiter gilt $\begin{eqnarray*} \nabla u = 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} L^2(G;\mathbb{R}^n) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \nabla u = 0 \end{eqnarray*}$ fast überall.

Ich möchte nun gerne folgern, dass $\begin{eqnarray*} u = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Ich weiß, dass das gelten muss, allerdings komme ich nicht wirklich auf einen grünen Zweig. Ich kann wohl für eine beliebige Testfunktion $\begin{eqnarray*} \varphi \in C_0^{\infty}(G) \end{eqnarray*}$ folgern, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} 0 = \int_G (\nabla u) \varphi dx = - \int_G u (\nabla \varphi) dx \end{eqnarray*}$
nach der Definition der schwachen Ableitung. Wenn ich nun daraus für eine beliebige Testfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi \in C_0^{\infty}(G) \end{eqnarray*}$ folgern könnte, dass $\begin{eqnarray*} \int_G u \Phi dx = 0 \end{eqnarray*}$ ist, würde nach dem Fundamentallemma der Variationsrechnung $\begin{eqnarray*} u = 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} L^2(G) \end{eqnarray*}$ folgen und ich hätte was ich wollte.

Allerdings kriege ich eben diesen Schritt nicht hin. Bitte um Hilfe :-)

14.11.2013, 12:31

tennisguru

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, und noch was fällt mir ein, wo ich gerade darüber nachdenke: kann man nicht sogar zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} C > 0 \end{eqnarray*}$ gibt, sodass für alle $\begin{eqnarray*} u \in H_0^1(G) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \int_G |u|^2 dx \le C \int_G | \nabla u|^2 dx \end{eqnarray*}$ ? Ich meinte, dass ich so was mal gehört hätte. Für $\begin{eqnarray*} u \in C_0^{\infty}((a,b)) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ kann ich das zeigen, müsste doch auch in höherdimensionalen Fällen gelten, oder?

14.11.2013, 17:52

chrizke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tennisguru
$\begin{eqnarray*} \int_G |u|^2 dx \le C \int_G | \nabla u|^2 dx \end{eqnarray*}$

Das ist die Poincaré-Ungleichung.

15.11.2013, 13:57

tennisguru

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich habe gerade beschlossen, dass mir das nicht peinlich ist Hammer

Danke schön!