2. Konvergenz von Reihen

14.11.2013, 16:29

TaA_9

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2. Konvergenz von Reihen

Hi hab wieder das gleiche Problem, ich muss die Konvergenz der Reihe bestimmen, falls es eine gibt.
1. Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \begin{pmatrix} 4n \\ 3n \end{pmatrix}^{-1} \end{eqnarray*}$

habe das ein wenig umgeformt und erhalt das:

$\begin{eqnarray*} \frac{(3n)!*n!}{(4n)!} \end{eqnarray*}$

Muss ich da auch wieder das Quotienten-Kriterium anwenden??

2. Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^{n+\frac{1}{n}}}{(n+ \frac{1}{n})^{n}} \end{eqnarray*}$

leider weiss ich nicht wie ich das umformen soll.

Danke für eure hilfe!!

14.11.2013, 16:33

bijektion

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1. Quotientenkriterium ist wohl die richtige Wahl.
2. Form erstmal den Term um, insb. die Exponenten.

14.11.2013, 16:50

TaA_9

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1.

Ok dann erhalte ich
$\begin{eqnarray*} | \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{4(4n+3)(4n+2)(4n+1)} | \end{eqnarray*}$
mehr kann ich da nicht machen oder?

2.

Ok, dann komme ich soweit auf:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^{\frac{1}{n}}}{1+(\frac{1}{n})^{n}*\frac{1}{n^{n}}} \end{eqnarray*}$
hab das n^n rausgekürzt, das kann ich machen oder?
aber jez weiss ich nich ob ich noch mehr kürzen kann oder nicht

14.11.2013, 17:05

bijektion

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zu 1.: Der Term ist nicht richtig, im Nenner ist eine vier zuviel und im Zähler fehlt ein $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ . Versuch es anschließend mit kürzen durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

zu 2.: Es gilt $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n+\frac{1}{n}}}{(n+ \frac{1}{n})^{n}}=\frac{n^n \cdot n^{\frac{1}{n}}}{n^n \cdot (1+\frac{1}{n^2})^n} \end{eqnarray*}$ . Jetzt kannst du auch wirklich mit $\begin{eqnarray*} n^n \end{eqnarray*}$ kürzen.

14.11.2013, 17:34

TaA_9

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1. beim (n+1) hab ich mit 4n+4=4(n+1) gekürzt deswegen bleibt ja die 4 übrig

2. kannst du mir diesen Schritt im Nenner ausschreiben?
Ich sehe es nicht wie du auf $\begin{eqnarray*} (1+ \frac{1}{n^{2}}) \end{eqnarray*}$ kommst

14.11.2013, 17:46

bijektion

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1.: Achso, ja das kannst du machen. Dann zieh doch jetzt mal alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus den Klammern.

2.: $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n+\frac{1}{n}}}{(n+ \frac{1}{n})^{n}}=\frac{n^{n+\frac{1}{n}}}{(n(1+ \frac{1}{n^2}))^{n}}=\frac{n^n \cdot n^{\frac{1}{n}}}{n^n \cdot (1+\frac{1}{n^2})^n} \end{eqnarray*}$ .

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14.11.2013, 17:54

TaA_9

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1. Ok habe ich gemacht, was hat mir das aber gebracht?

2. Danke. So und jez ist die Frage welches Kriterium ich hier anwende. Nicht wieder das Quotienten-Kriterium oder?

14.11.2013, 18:06

bijektion

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1.: Müsstest das Ergebnis jetzt schon ablesen können.

2.: Oben haben wir ja schon was schönes. Erinnert dich das im Nenner an etwas?

14.11.2013, 18:14

TaA_9

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1. Es konvergiert?

2. das (1+(1/n))^n = e, aber wir haben hier n^2. Dann kann man das nicht gleich das setzten oder?
Ich muss ein Kriterium anwenden, ich weiss aber nicht welches :-/

14.11.2013, 18:19

bijektion

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Das 1. sollte stimmen. Wie wäre es mit dem Majorantenkriterium?

14.11.2013, 18:24

TaA_9

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1. es ist nicht wirklich notwendig das n rauszunehmen oder?

2. Majoranten-Kriterium, das heisst ich muss sowas finden:
$\begin{eqnarray*} |a_{n} | \leq c_{n} \end{eqnarray*}$

das was wir umgeformt haben ist mein c_n oder?

14.11.2013, 19:11

bijektion

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1.: Wenn du aus $\begin{eqnarray*} \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{4(4n+3)(4n+2)(4n+1)} \end{eqnarray*}$ abließt gegen was der Term konvergiert natürlich nicht...

2.: Nein, du musst ein $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ finden, wo du am besten sofort den Grenzwert ablesen kannst.

14.11.2013, 19:16

TaA_9

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achso ok.

ohjee und wie finde ich dies?

Entschuldige dass ich so frage, leider habe ich das ganze Kaptiel nicht wirklich verstanden...

14.11.2013, 19:25

bijektion

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Womit könntest du den $\begin{eqnarray*} \frac{n^{\frac{1}{n}}}{(1+\frac{1}{n^2})^n} \end{eqnarray*}$ nach unten abschätzen?

14.11.2013, 19:40

TaA_9

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Wie meinst du "nach unten" abschätzen??

Wenn ich mir das so anschaue, würde ich sagen, dass
es kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n}}{e^{n}} \end{eqnarray*}$ ist??

14.11.2013, 19:44

bijektion

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Scheinbar ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{n^{\frac{1}{n}}}{(1+\frac{1}{n^2})^n} \leq \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ . Die Abschätzung ist aber nicht eng genug, weil das konvergiert ja gegen 1, und das bringt im Quotientenkriterium nichts. Also musst du den Nenner besser abschätzen.

EDIT: Denk an die Bernoulli'sche Ungleichung!

14.11.2013, 21:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von bijektion
Scheinbar ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{n^{\frac{1}{n}}}{(1+\frac{1}{n^2})^n} \leq \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ . Die Abschätzung ist aber nicht eng genug, weil das konvergiert ja gegen 1

Hat da vielleicht wer den Überblick verloren? Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{\frac{1}{n}}}{(1+\frac{1}{n^2})^n} \end{eqnarray*}$ ist hier doch nicht der Quotient, sondern das Reihenglied selbst! D.h., hier greift das triviale Divergenzkriterium "Reihenglieder bilden keine Nullfolge".

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