Folge und Häufungspunkt

14.11.2013, 21:05

Patrik 17

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Folge und Häufungspunkt

Meine Frage:
Einen guten Abend von meiner Seite aus. Ich habe die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ gegeben durch:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac 1n + \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Ich soll alle Häufungspunkte dieser Folge bestimmen und meine Antwort begründen.

Meine Ideen:
Sei $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine reelle Folge. Wir nennen $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ einen Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ , falls es eine Teilfolge gibt, die gegen a konvergiert.

Anschaulich gesprochen ist doch ein Häufungspunkt ein Punkt, der unendlich viele Punkte der Menge in seiner unmittelbaren Nähe hat.

Ich soll jetzt quasi die Bereiche finden dieser Folge finden, in denen Häufungspunkte vorkommen?

Wie soll ich das tun?

$\begin{eqnarray*} \frac 1n \end{eqnarray*}$ konvergiert doch gegen Null, ist dann der Häufungspunkt die Null? Dann wäre aber der Begriff des Häufungspunktes gleichzusetzen mit dem des Grenzwertes, in irgendeiner Weise ist es doch auch so?

Nun wenn ich $\begin{eqnarray*} \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ betrachte, kann ich schon sagen, dass der Sinus ausschließlich Werte zwischen -1 und +1 annehmen kann.

Mehr fällt mir leider nicht ein, von daher nehme Hilfe jeder Form sehr gerne entgegen.

Danke und lG Patrik

14.11.2013, 21:32

MatheIstLustig

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RE: Folge und Häufungspunkt
Um Häufungspunkte zu bestimmen, musst du konvegente Teilfolgen bestimmen.
Betrachte doch zunächst mal die Folge $\begin{eqnarray*} b_n=\sin \left(\frac{n \pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ und schaue, welche Werte diese Folge annimmt.

14.11.2013, 21:48

Patrik 17

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RE: Folge und Häufungspunkt

Zitat:

Original von MatheIstLustig
Betrachte doch zunächst mal die Folge $\begin{eqnarray*} b_n=\sin \left(\frac{n \pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ und schaue, welche Werte diese Folge annimmt.

Hallo MatheIstLustig. Gut. Da wir uns ja auf $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ sind haben wir ja:

$\begin{eqnarray*} b_1=\sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2=\sin \left(\frac{2 \pi}{2}\right)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_3=\sin \left(\frac{3 \pi}{2}\right)=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_4=\sin \left(\frac{4 \pi}{2}\right)=0 \end{eqnarray*}$

usw.

14.11.2013, 21:57

MatheIstLustig

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RE: Folge und Häufungspunkt
Dein Ergebnis, 3 verschiedene Werte, sollte sich in 3 Häufungspunkten deiner Ausgangsfolge wiederfinden.

Untersuche z.B. die Folge $\begin{eqnarray*} a_{4n+1} \end{eqnarray*}$ als Teilfolge.
Ebesno bekommst du die anderen Häufungspunkte.

14.11.2013, 22:15

Patrik 17

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RE: Folge und Häufungspunkt

Zitat:

Original von MatheIstLustig
Dein Ergebnis, 3 verschiedene Werte, sollte sich in 3 Häufungspunkten deiner Ausgangsfolge wiederfinden.

Ja das sehe ich auch so.

Zitat:

Original von MatheIstLustig
Untersuche z.B. die Folge $\begin{eqnarray*} a_{4n+1} \end{eqnarray*}$ als Teilfolge.
Ebesno bekommst du die anderen Häufungspunkte.

Ja ich kann mir ja beliebig viele Teilfolgen definieren und diese untersuchen und was habe ich davon bzw. was sagt mir das für meine Aufgabe?

14.11.2013, 22:23

MatheIstLustig

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RE: Folge und Häufungspunkt
Nun bei der Teilfolge $\begin{eqnarray*} a_{4n+1} \end{eqnarray*}$ erhälst du als Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{4n+1}= \lim_{n \to \infty }(\frac{1}{4n+1}+ \sin(\frac{(4n+1)\pi}{2}))=\lim_{n \to \infty }(\frac{1}{4n+1}+1)=1 \end{eqnarray*}$
Damit ist 1 ein Häufungspunkt der Folge.

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14.11.2013, 22:34

Patrik 17

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RE: Folge und Häufungspunkt
Verstehe ich, das Problem ist, das ich Aufgaben dieser Sorte noch nie gemacht habe. Die Idee, die Teilfolge $\begin{eqnarray*} a_{4n+1} \end{eqnarray*}$ so zu wählen, darauf wäre ich nie gekommen, ist auch ziemlich schwer. Gibt es dafür ein Schema wie man Teilfolgen wählen kann? Ist es denn die einzige Teilfolge, bei der man einen Häufungspunkt bekommt? Ich meine Vielfache davon führen ja zum selben Ergebnis.

14.11.2013, 22:46

MatheIstLustig

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RE: Folge und Häufungspunkt
Da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} =0 \end{eqnarray*}$ in jeder Teilfolge gilt, könn sich Häfungspunkte nur durch den Sinusanteil ändern. Mit deinen Ergebnissen aus der Teilfolge $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ergeben sich dann 3 verschiedene Häufungspunkte:
$\begin{eqnarray*} 0+(-1)=-1;0+0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0+1=1 \end{eqnarray*}$ . Für jeden dieser Häufungspunkte musst du jetzt eine konvergente Teilfolge finden,die gegen diesen Häufungspunkt konvergiert.
Das Schema habe ich dir mit dem ersten Häufungspunkt vorgegeben. Hier habe ich dafür gesorgt, dass der Sinusanteil immer den Wert 1 hat. Das ist bei dem 1.;5; 9;... Folgenglied der Fall.
Versuche jetzt einmal die anderen Teilfolgen zu bestimmen.

14.11.2013, 23:00

Patrik 17

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RE: Folge und Häufungspunkt

Zitat:

Original von MatheIstLustig
Da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} =0 \end{eqnarray*}$ in jeder Teilfolge gilt, könn sich Häufungspunkte nur durch den Sinusanteil ändern.

Bin ganz deiner Meinung Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von MatheIstLustig
Für jeden dieser Häufungspunkte musst du jetzt eine konvergente Teilfolge finden,die gegen diesen Häufungspunkt konvergiert.
Das Schema habe ich dir mit dem ersten Häufungspunkt vorgegeben. Hier habe ich dafür gesorgt, dass der Sinusanteil immer den Wert 1 hat. Das ist bei dem 1.;5; 9;... Folgenglied der Fall.
Versuche jetzt einmal die anderen Teilfolgen zu bestimmen.

Joa irgendwie versuche ich es, aber ohne genau immer die -1 oder 0 zu treffen unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} -(n^{2n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -2n-1 \end{eqnarray*}$ usw. trifft alles nichts...

14.11.2013, 23:07

MatheIstLustig

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RE: Folge und Häufungspunkt
Nun deine Ergebnisse bei der Sinusfolge wiederholen sich alle 4 Werte. Also sollte deine Teilfolge jedes 4. Folgenglied treffen. (Das ergibt den Summanden 4n)

Mein Beispiel hat mit dem 1. / 5. Folgenglied (deshalb 4n+1) angefangen. Jetzt solltes du z.B. das 3.; 7.; 11; ... Folgenglied treffen.

14.11.2013, 23:22

Patrik 17

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RE: Folge und Häufungspunkt
Also mit $\begin{eqnarray*} a_{2n} \end{eqnarray*}$ treffe, also erhalte ich aus dem Sinus immer die Null. Das müsste die Lösung für den Häufungspunkt Null sein?

Ich muss 3 7 11 usw. treffen ich weiß damit immer -1 aus dem Sinusterm folgt. Ich bekomme es aber nicht gebacken, weil ich immer auf der 5 oder 6 komme... Hammer

Hammer

14.11.2013, 23:24

Patrik 17

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RE: Folge und Häufungspunkt
$\begin{eqnarray*} a_n=4n-1 \end{eqnarray*}$ ! Big Laugh

Big Laugh

14.11.2013, 23:24

MatheIstLustig

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RE: Folge und Häufungspunkt
Na gut: 4n+1 ergibt 1;5;...
und 4n+3 ergibt 7;11;...

14.11.2013, 23:35

Patrik 17

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RE: Folge und Häufungspunkt

Zitat:

Original von MatheIstLustig
Na gut: 4n+1 ergibt 1;5;...
und 4n+3 ergibt 7;11;...

Hm?

$\begin{eqnarray*} 4n+1 \end{eqnarray*}$ für 1

$\begin{eqnarray*} 4n-1 \end{eqnarray*}$ für -1

$\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ für 0

passt doch alles, oder? Und das ist alles was in der Aufgabe verlangt wurde? Es sind ja die Häufungspunkte. Wie begründe ich das denn, vor allem wie schreibe ich das formal auf?

14.11.2013, 23:40

MatheIstLustig

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RE: Folge und Häufungspunkt
Um zu zeigen, dass die Häufungspunkte existieren solltes du ähnlich wie ich oben die Teilfolgen angeben und zeigen, dass diese gegenden Häufungspunkt konvergieren.
Dass dies alle Häufungspunkte sind ergibt sich aus deiner Analyse für die "Sinusfolge" ganz am Anfang. Da solten ein bis zwei Sätze Begründung reichen.

14.11.2013, 23:46

Patrik 17

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RE: Folge und Häufungspunkt
Nun bei der Teilfolge $\begin{eqnarray*} a_{4n-1} \end{eqnarray*}$ erhält man als Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{4n-1}= \lim_{n \to \infty }(\frac{1}{4n-1}+ \sin(\frac{(4n-1)\pi}{2}))=\lim_{n \to \infty }(\frac{1}{4n+1}-1)=-1 \end{eqnarray*}$

Damit ist -1 ein Häufungspunkt der Folge.

Bei der Teilfolge $\begin{eqnarray*} a_{2n} \end{eqnarray*}$ erhält man als Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{4n-1}= \lim_{n \to \infty }(\frac{1}{2n}+ \sin(\frac{(2n)\pi}{2}))=\lim_{n \to \infty }(\frac{1}{2n}+0)=0 \end{eqnarray*}$

Damit ist 0 ein Häufungspunkt der Folge.

Reicht bestimmt noch nicht aus Big Laugh

Big Laugh

14.11.2013, 23:51

MatheIstLustig

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RE: Folge und Häufungspunkt
Du hast jetzt insgesamt (mit meinem Post) gezeigt, dass die Folge mindestens die 3 Häufungspunkte 1,-1 und 0 besitzt.
Jetzt soltes du mit einem Satz noch begründen, dass dies auch alle Häufungspunkte sind.

14.11.2013, 23:55

Patrik 17

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RE: Folge und Häufungspunkt
Da $\begin{eqnarray*} \frac 1n \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert müssen wir für die Häufungspunkte, den Sinusterm näher in Betrachtung ziehen. Da der Sinus nur Werte zwischen -1 und +1 annehmen kann, müssen sich die Häufungspunkte auf die drei Werte -1, 0 und 1 verteilen.

Hm Big Laugh

Big Laugh

?

15.11.2013, 00:00

MatheIstLustig

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RE: Folge und Häufungspunkt

Zitat:

Da der Sinus nur Werte zwischen -1 und +1

Für die konkrete Folge nimmt der Sinusanteil nicht alle Werte zwischen -1 und 1 an.
Ansonsten hast du es jetzt.

15.11.2013, 00:04

Patrik 17

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RE: Folge und Häufungspunkt
Ich danke Gott, ich danke Dir Augenzwinkern

Augenzwinkern

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