beweis (1+x)^n größer gleich n^2/4 * x^2

15.11.2013, 12:58

zlosh

beweis (1+x)^n größer gleich n^2/4 * x^2

Meine Frage:
hallo,

ich versuche diesen satz zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \geq \frac{n^{2} }{4} x^{2} \end{eqnarray*}$

für x größer gleich 0 und n größer gleich 2

Meine Ideen:
ich habe es folgenderweise gemacht:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} =\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{k} \geq \binom{n}{0} x^{0} + \binom{n}{2} x^{2} + \binom{n}{3} x^{3} \geq \binom{n}{2} x^{2} + \binom{n}{3} x^{2} = x^{2}(\frac{n^{3}-n }{6} ) \geq \frac{n^{2} }{4} x^{2} \end{eqnarray*}$

nun habe ich noch gezeigt:
$\begin{eqnarray*} \frac{n^{3}-n }{6} \geq \frac{n^{2} }{4} \end{eqnarray*}$

indem ich das ganze zu folgendem umgeformt habe:

$\begin{eqnarray*} n^{3}-\frac{3}{2}n^{2} -n \geq 0 \end{eqnarray*}$

es kam raus dass die ungleichung für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

wenn ich alles richtig gemacht habe, wär die aufgabe damit erfüllt.
aber selbst wenn das richtig ist, ist das kein sehr eleganter weg.

ist was ich gemacht habe richtig? und wie könnte man das besser machen?

15.11.2013, 13:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von zlosh
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} =\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{k} \geq \binom{n}{0} x^{0} + \binom{n}{2} x^{2} + \binom{n}{3} x^{3} {\color{red}\geq} \binom{n}{2} x^{2} + \binom{n}{3} x^{2} = x^{2}(\frac{n^{3}-n }{6} ) \geq \frac{n^{2} }{4} x^{2} \end{eqnarray*}$

Beim vorletzten $\begin{eqnarray*} {\color{red}\geq} \end{eqnarray*}$ scheinst du die Abschätzung $\begin{eqnarray*} x^3\geq x^2 \end{eqnarray*}$ verwenden zu wollen? Das ist für $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ falsch. unglücklich

Warum aber solltest du das überhaupt tun? Die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \geq \binom{n}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ allein genügt vollkommen für den weiteren Weg.

15.11.2013, 13:10

klarsoweit

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RE: beweis (1+x)^n größer gleich n^2/4 * x^2
Alternativ kann man mit vollständiger Induktion auch etwas mehr beweisen:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1 + n \cdot x + \frac{n^2}{4} x^2 \end{eqnarray*}$ smile

15.11.2013, 13:45

zlosh

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Zitat:

Original von HAL 9000

Beim vorletzten $\begin{eqnarray*} {\color{red}\geq} \end{eqnarray*}$ scheinst du die Abschätzung $\begin{eqnarray*} x^3\geq x^2 \end{eqnarray*}$ verwenden zu wollen? Das ist für $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ falsch. unglücklich

Warum aber solltest du das überhaupt tun? Die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \geq \binom{n}{2}x^2 \end{eqnarray*}$ allein genügt vollkommen für den weiteren Weg.

hmm in der tat.

dann folgenderweise:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} =\sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{k} \geq \binom{n}{0} x^{0} + \binom{n}{2} x^{2} \geq \binom{n}{2} x^{2} = x^{2}(\frac{n^{2}-n }{2} ) \geq \frac{n^{2} }{4} x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{2}-n }{2} \geq \frac{n^{2} }{4} \Leftrightarrow n(n-2)\geq 0 \end{eqnarray*}$

dies gilt für n größer gleich 2

q.e.d?

15.11.2013, 13:51

zlosh

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RE: beweis (1+x)^n größer gleich n^2/4 * x^2

Zitat:

Original von klarsoweit
Alternativ kann man mit vollständiger Induktion auch etwas mehr beweisen:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1 + n \cdot x + \frac{n^2}{4} x^2 \end{eqnarray*}$ smile

wahrschienlich braucht man da keinen binomischen lehrsatz? den würde ich gerne verwenden, da auf dem übungsblatt steht man soll es tun.

15.11.2013, 14:18

HAL 9000

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Auch mit dem binomischen Lehrsatz kannst du leicht diese Erweiterung beweisen: Du nimmst deinen bisherigen (nunmehr richtig korrigierten) Weg, nur dass du die beiden Binomsummanden für k=0 und k=1 nicht wegwirfst, sondern drinlässt.

15.11.2013, 14:40

zlosh

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Zitat:

Original von HAL 9000
Auch mit dem binomischen Lehrsatz kannst du leicht diese Erweiterung beweisen: Du nimmst deinen bisherigen (nunmehr richtig korrigierten) Weg, nur dass du die beiden Binomsummanden für k=0 und k=1 nicht wegwirfst, sondern drinlässt.

ja ich sehe das geht auch. aber ich belasse es denke ich bei dem ersten weg und gehe zur nächsten aufgabe.

danke für eure hilfe.

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