Welche Teilmengen der Gruppe bilden eine Untergruppe

15.11.2013, 15:28

thp

Welche Teilmengen der Gruppe bilden eine Untergruppe

Guten Tag!

Ich sitze schon ewig vor dieser Aufgabe und komm einfach nicht weiter verwirrt

Vielleicht schaff ich's ja, wenn mir netterweise jemand von Euch einen Ansatz liefern könnte.

Also hier die Aufgabe:

Eine nichtleere Teilmenge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ einer Gruppe $\begin{eqnarray*} (G,.) \end{eqnarray*}$ , versehen mit der Restriktion der Verknüpfung $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ , heißt Untergruppe von G, wenn für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in U \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} a*b^{-1} \in U \end{eqnarray*}$ gilt.
Ist $\begin{eqnarray*} U \subset G \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe, so existiert mindestens ein $\begin{eqnarray*} a \in U \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} a*a^{-1}=e \in U \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ das neutrale Element der Gruppe G bezeichnet. Weiters folgt mit $\begin{eqnarray*} a \in U, e\in U \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} a^{-1} = e*a^{-1} \in U \end{eqnarray*}$ .

Eine der Teilaufgaben lautet:

Welche der Folgenden Teilmengen der Gruppe $\begin{eqnarray*} GL_4(~\mathbb R) \end{eqnarray*}$ bildet eine Untergruppe?

a) Die Menge $\begin{eqnarray*} T :=\{diag(t_1, ..., t_4) \in GL_4(~\mathbb R) |t_i \in ~\mathbb Q\} \end{eqnarray*}$ der Diagonalmatrizen mit rationalen Einträgen.

2 weitere Teilaufgaben gibt's noch, aber ich würd gern mal wissen, was genau bei dieser Aufgabe zu tun ist.

Ich möchte mich schon mal an dieser Stelle für Eure Antworten bedanken Wink

LG
thp

15.11.2013, 17:57

Louis1991

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RE: Welche Teilmengen der Gruppe bilden eine Untergruppe
Ist die Einheitsmatrix eine Diagonalmatrix (mit determinante ungleich 0) ?
Ist das Produkt zweier Diagonalmatrizen (mit determinante ungleich 0) wieder eine Diagonalmatrix?
Ist das Inverse einer Diagonalmatrix (mit determinante ungleich 0) wieder eine Diagonalmatrix (mit determinante ungleich 0) ?

15.11.2013, 18:30

RavenOnJ

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RE: Welche Teilmengen der Gruppe bilden eine Untergruppe
Du hast doch oben schon geschrieben, wie man zeigen kann, dass eine Teilmenge U einer Gruppe G eine Untergruppe ist. Jetzt musst du nur noch nachprüfen, ob dies für deine Menge T auch gilt.

Seien also $\begin{eqnarray*} A,B\in T \end{eqnarray*}$ . Jetzt musst du nur zeigen,ob dann ebenfalls $\begin{eqnarray*} AB^{-1}\in T \end{eqnarray*}$ gilt.

16.11.2013, 12:41

thp

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Danke für die schnellen und hilfreichen Antworten!

Also wenn ich die Diagonalmatrix mit der dazu inversen Diagonalmatrix multipliziere erhalte ich die Einheitsmatrix und diese ist dann eine Teilmenge der Gruppe $\begin{eqnarray*} GL_4(~\mathbb R) \end{eqnarray*}$ oder?
Muss man da noch etwas zeigen oder wars das?

Die zweite Teilaufgabe lautet:
Die Menge $\begin{eqnarray*} Z:= \{A=(a_{ij}) \in GL_4(~\mathbb R)|a_{ij} \in ~\mathbb Z, i,j = 1,...,4\} \end{eqnarray*}$ der Matrizen deren Einträge alle ganzzahlig sind.

Wie zeigt man dann das?
Das Produkt $\begin{eqnarray*} AA^{-1} \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und die Einträge von $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ sind doch alle $\begin{eqnarray*} \in ~\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und in weiterer Folge auch $\begin{eqnarray*} \in ~\mathbb R \end{eqnarray*}$ oder?

16.11.2013, 13:32

RavenOnJ

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Zitat:

Original von thp
Also wenn ich die Diagonalmatrix mit der dazu inversen Diagonalmatrix multipliziere erhalte ich die Einheitsmatrix und diese ist dann eine Teilmenge der Gruppe $\begin{eqnarray*} GL_4(~\mathbb R) \end{eqnarray*}$ oder?
Muss man da noch etwas zeigen oder wars das?

Was du hier konstatierst, ist doch evident, falls die Matrix überhaupt eine Inverse hat. Das war aber gar nicht zu zeigen. Lies nochmal die Aufgabe genau durch. Du sollst in a) prüfen, ob dieTeilmenge
$\begin{eqnarray*} T :=\{diag(t_1, ..., t_4) \in GL_4(~\mathbb R) |t_i \in ~\mathbb Q\} \end{eqnarray*}$
eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} GL_4(~\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ist. Hier besteht die Frage, ob jede dieser Diagonalmatrizen eine Inverse in $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ hat.

Edit: Verbessert nach Einwand von Che.

Jede dieser Diagonalmatrizen hat also eine Inverse in $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ . Nichtsdestotrotz muss dies erst noch gezeigt werden und nicht einfach konstatiert. Dann muss noch gezeigt werden, dass mit $\begin{eqnarray*} A,B\in T \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} AB^{-1}\in T \end{eqnarray*}$ .

16.11.2013, 13:36

Che Netzer

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Hier besteht die Frage, ob jede dieser Diagonalmatrizen eine Inverse hat. Dies ist nämlich nicht der Fall.

Doch.

16.11.2013, 13:40

RavenOnJ

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@Che
OK, stimmt, da der Fall, dass ein $\begin{eqnarray*} t_i =0 \end{eqnarray*}$ ja schon durch die Mitgliedschaft der Matrix in $\begin{eqnarray*} GL_4(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen wird.

16.11.2013, 13:47

RavenOnJ

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Zitat:

Original von thp

Die zweite Teilaufgabe lautet:
Die Menge $\begin{eqnarray*} Z:= \{A=(a_{ij}) \in GL_4(~\mathbb R)|a_{ij} \in ~\mathbb Z, i,j = 1,...,4\} \end{eqnarray*}$ der Matrizen deren Einträge alle ganzzahlig sind.

Wie zeigt man dann das?
Das Produkt $\begin{eqnarray*} AA^{-1} \end{eqnarray*}$ ist doch $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und die Einträge von $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ sind doch alle $\begin{eqnarray*} \in ~\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und in weiterer Folge auch $\begin{eqnarray*} \in ~\mathbb R \end{eqnarray*}$ oder?

Irgendwie scheinst du die Aufgabe gar nicht zu verstehen.

Du hast die oben definierte Menge $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ , die offenbar Teilmenge von $\begin{eqnarray*} GL_4(~\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ist. Du sollst nun prüfen, ob diese Menge eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} GL_4(~\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ist. Dazu müssen auch alle Inversen von Elementen aus $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ebenfalls zu $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ gehören. Ist dies der Fall? Du könntest über die Determinanten gehen, um das Gegenteil zu beweisen.

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