relles Fundamentalsystem angeben

15.11.2013, 18:57

Hawk87

relles Fundamentalsystem angeben

Hi,

ich komme direkt zur Frage.

Es ist eine 2x2 Matrix A gegeben mit einem Eigenwert 2+i und einem Eigenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das reelle Fundamentalsystem der DGL $\begin{eqnarray*} \vec{x}`= A\vec{x} \end{eqnarray*}$ soll angegeben werden.

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} \lambda = 2+i \vec{v} =\begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix} \vec{x_1(t)} = e^{(2+i)t} \begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix} = e^{2t} (cos(t)+isin(t)) \begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix} = e^{2t} \begin{pmatrix} cost\\sint \end{pmatrix}+ie^{2t} \begin{pmatrix} -sint\\cost \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das reelle FS wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \vec{x(t)} = c_1 e^{2t} \begin{pmatrix} cost\\sint \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder ??

15.11.2013, 20:49

Che Netzer

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RE: relles Fundamentalsystem angeben

Zitat:

$\begin{eqnarray*} e^{2t} (cos(t)+isin(t)) \begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix} = e^{2t} \begin{pmatrix} cost\\sint \end{pmatrix}+ie^{2t} \begin{pmatrix} -sint\\cost \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der letzte Umformungsschritt ist hier falsch.

Zitat:

Das reelle FS wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \vec{x(t)} = c_1 e^{2t} \begin{pmatrix} cost\\sint \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein, ein Fundamentalsystem eines DGL-Systems der Größe Zwei muss aus zwei Lösungen bestehen. Nicht nur der Realteil der komplexen Lösung ist eine reelle Lösung, sondern auch der Imaginärteil.

Außerdem kannst du auf $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ verzichten, denn zu einem Fundamentalsystem gehören nur "einzelne" Funktionen. Erst die allgemeine Lösung hat zwei freie Parameter.

PS: Für Ableitungsstriche verwendet man ', nicht ´ oder `.
Und den Punkt erhältst du mit \dot{\vec x}: $\begin{eqnarray*} \dot{\vec x} \end{eqnarray*}$ .

16.11.2013, 16:55

Hawk87

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Also dann die korrigierte version:

$\begin{eqnarray*} \lambda = 2+i \vec{v} =\begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix} \vec{x_1(t)} = e^{(2+i)t} \begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix} = e^{2t} (cos(t)+isin(t)) \begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix} = e^{2t} \begin{pmatrix} cost\\-sint \end{pmatrix}+ie^{2t} \begin{pmatrix} sint\\cost \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das reelle FS wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \vec{x(t)} = e^{2t} \begin{pmatrix} cost\\-sint \end{pmatrix} +e^{2t} \begin{pmatrix} sint\\cost \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.11.2013, 17:01

Che Netzer

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Zitat:

Original von Hawk87
Das reelle FS wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \vec{x(t)} = e^{2t} \begin{pmatrix} cost\\-sint \end{pmatrix} +e^{2t} \begin{pmatrix} sint\\cost \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein, das wäre eine reelle Lösung. Real- und Imaginärteil hast du zwar richtig gebildet, aber die beiden dadurch entstehenden Funktionen bilden ein Fundamentalsystem (nicht deren Summe allein).
Wie gesagt:

Zitat:

ein Fundamentalsystem eines DGL-Systems der Größe Zwei muss aus zwei Lösungen bestehen.

Die reellen Lösungen der DGL setzen sich dann aus Linearkombinationen der beiden Fundamentallösungen zusammen.

17.11.2013, 16:10

Hawk87

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$\begin{eqnarray*} \vec{x1(t)} = Re(\vec{x1(t)}) = e^{2t} \begin{pmatrix} cost\\-sint \end{pmatrix} \vec{x2(t)} = Im(\vec{x1(t)}) = e^{2t} \begin{pmatrix} sint\\cost \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zugegeben die Bezeichnung ist etwas unvorteilhaft gewählt, aber das wäre die reelle FS

$\begin{eqnarray*} \vec{x(t)}= c_1 e^{2t} \begin{pmatrix} cost\\-sint \end{pmatrix}+ c_2e^{2t} \begin{pmatrix} sint\\cost \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dass die zughörige allg. Lsg des homogenen Systems

17.11.2013, 16:16

Che Netzer

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Ja, bis auf die Doppelbezeichnung (ändere die in der Abgabe) stimmt es jetzt.

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