Vektorrechnung- aufgabenstellung |
| 07.08.2004, 23:54 | Tcrazyjam | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Vektorrechnung- aufgabenstellung Beweise, dass für jeden Punkt im Innern dieses Dreiecks die Summe seiner Abstände von den drei Dreieckseiten gleich der Dreieckshöhe ist! Untersuche, ob diese Aussage auch für Punkte auf den Seiten des Dreiecks und für Punkte außerhalb des Dreiecks gilt! |
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| 08.08.2004, 01:57 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ein Dreieck ist Gleichseitig wenn alle Seiten gleichlang sind Du musst also (gaaanz leicht 
) überprüfen ob|AB| = |BC| = |AC| Nutze die Definition des Betrages eines Vektors. Zu zweitens: Da fällt mir spontan nur die Brachialmethode ein. Sei (x,y) ein Punkt im Dreieck, man kann zugehörig zum Punkt die Abstände zu den Seiten berechnen. Die Summe dieser Strecken muss ja dann mit der Höhe übereinstimmen. Das wird aber in einen tierischen Formelwust ausarten, vieleicht findet ja einer hier eine elegantere methode dafür. Zu drittens Im allgemeinen wird es nicht für Punkte ausserhalb des Dreieckes gelten. Wähle dazu einen Punkt der weiter weg vom Dreieck ist als jenes Hoch ist. (Du musst den Punkt natürlich über den Parameter a dann ausdrücken damit er auch wirklich weiter Weg ist) Wenn der Punkt auf den Seiten liegt: Ist der Punkt auf der Seite gehört er zum Dreieck, wenn man 2. ordentlich gezeigt hat sollte das daraus direkt folgen. |
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| 08.08.2004, 22:07 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
@ Mazze "Zweitens" geht auch ganz ohne Brachialmethode, nicht einmal Koordinaten braucht man. Man wählt einen beliebigen Punkt P im Innern des gleichseitigen Dreiecks. Jetzt verbindet man ihn durch Strecken mit den Eckpunkten des Dreiecks. Die Fläche des gesamten Dreiecks zerfällt dadurch in die Flächen dreier Teildreiecke. Addiert man nun diese drei Inhalte (jeweils nach der Formel ½·Grundseite·Höhe), so erhält man den Gesamtinhalt. Stellt man die entsprechende Formel auf und kürzt man alles Überflüssige heraus, so bekommt man das Gewünschte. Die Formel gilt sogar, wenn P außerhalb des Dreiecks liegt, falls man die folgende Konvention verwendet: Der Abstand von P zu einer Dreiecksseite wird negativ gerechnet, falls P und die der Dreiecksseite gegenüberliegende Dreiecksecke auf verschiedenen Seiten der Dreiecksseite liegen. |
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| 08.08.2004, 23:42 | Tcrazyjam | Auf diesen Beitrag antworten » |
@leopold, könntest du deine überlegung speziel an dieser aufg. anwenden? Welche Formeln muss ich denn aufstellen und wonach auflösen? Ich begreif deinen Lösungsansatz um ehrlich zu sein nicht so ganz 
Ich habs bisher nur mit der Abstandsformel (Punkt-Gerade) probiert, aber da hatte ich das Problem einen Normalenvektor zu errechnen. Hab ja nur die Eckpunkte gegeben. 
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| 09.08.2004, 12:42 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
siehe! |
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| 09.08.2004, 12:49 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also, der Ansatz von Leopold ist richtig schön, habs in zwei Zeilen erledigt. Ist nicht schwer, stell erstmal die Formel für den Gesamtflächeninhalt der Dreiecks und die Summer der Inhalte der inneren Dreiecke auf, dann sieht man schon viel. |
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| 09.08.2004, 15:33 | Tcrazyjam | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich bin am verzweifeln, mathe ist nicht so meine stärke..obwohl ich die ganze zeit versuche das nachzuvollziehen, hab ich echt kein plan, wie ich das über den flächeninhalt mache?? muss ich da denn nich hesse benutzen?? Ich weiß nicht wie und ich weiß auch nicht, was genau ich machen muss...die fragestellung is echt schwierig (da ja jeder punkt im innern und nicht nur einer gemeint issss))... bitte bitte ihr müsst mir echt helfen, da ich es mündl. in der schule irgendwie vortragen muss... 
DANKE euch allen... |
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| 09.08.2004, 15:56 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hm, nach dem folgenden Tip solltest Du es verstanden haben, ich orientiere mich an den Bezeichnungen Leopolds Sei A der Gesamtflächeninhalt es gilt: Diese Formel musst Du kennen. Seien die Flächeninhalte der Dreiecke die entstehen (Leopolds zeichnung) es gilt: Wie stehen A und in Beziehung? Wenn Du das aufschreibst hast Du es schon fast. |
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| 09.08.2004, 15:59 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du kennst doch sicher aus der Mittelstufe die Formel Flächeninhalt = ½ · Grundseite · zugehörige Höhe fürs Dreieck. Jetzt wendest du diese Formel an, um die Flächeninhalte der Dreiecke ABP, BCP, CAP zu berechnen (siehe Zeichnung oben). Dann addierst du alle Flächeninhalte. Dadurch bekommst du den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. Den kannst du aber auch direkt berechnen (wieder mit ½·Grundseite·Höhe). Und da beide Male dasselbe herauskommen muß, hast du eine Gleichung. Die mußt du noch ein bißchen umformen. Und alles, was du suchst, steht da. |
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| 09.08.2004, 16:20 | Tcrazyjam | Auf diesen Beitrag antworten » |
VIELEN VIELEN Dank, habs jetzt gecheckt. Wenn mans kapiert, klingt alles super einfach.. aber was mich irritiert ist: 1.) was ist wenn das dreieck nicht gleichseitig gewesen wäre? 2.) wieso sollte das ganze auch für punkte außerhalb des dreiecks gelten, denn da hab ich ja kein gls dreieck mehr oder?? Vielen dank für eure mühe... euren ansatz hab ich im nachinein auch selbständig oh. erläuterung verstanden, nur dacht ich, dass ich noch die einzelnen flächeninhalte brauch um die einzelnen abstände berechnen zu können.. 
) |
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| 09.08.2004, 16:25 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Spiegle einmal in meiner Figur oben den Punkt P an der Seite AB. Dann kannst du rechnen: Inhalt ABC = (Inhalt BCP) + (Inhalt CAP) - (Inhalt ABP) Dann geht die Rechnung weiter wie gehabt. Wenn du jetzt das Minuszeichen vor dc zu einem Plus machst, dafür dc selber aber negativ rechnest, stimmt es wieder (siehe meinen Beitrag weiter oben). Edit: In einem beliebigen Dreieck gilt übrigens: Diese Gleichung ist die Grundlage für die sogenannten baryzentrischen Koordinaten in Bezug auf ein gegebenes Dreieck. Der Beweis geht ähnlich wie beim gleichseitigen Dreieck: Die Einzelflächeninhalte addiert ergeben den Gesamtflächeninhalt A des Dreiecks. Die Gleichung wird durch A dividiert und mit Hilfe von vereinfacht. |
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| 09.08.2004, 16:34 | Tcrazyjam | Auf diesen Beitrag antworten » |
klingt logisch... hab alles verstanden
) juhuuuu *g*würde aus neugier aber auch mal wissen wie man das mit hesse gemacht hätte! Denn das hab ich 0 gecheckt. Trotzdem vielen lieben Dank.. man hat´s als einziges mädel in nem mathe-LK kurz wirklich nicht einfach 
( aber mit euch gehts :] |
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| 09.08.2004, 17:04 | Eddi | Auf diesen Beitrag antworten » |
die hesse-variante: Sei P = (x*a, y*a) Beliebiger Punkt innerhalb des Dreiecks A = (0, 0) B = (a, 0) C = (1/2*a, sqrt(3)/2*a) a = C-B = (-1/2*a, sqrt(3)/2*a) b = A-C = (-1/2*a, -sqrt(3)/2*a) c = B-A = (a, 0) n_a = (sqrt(3)/2, 1/2) n_b = (-sqrt(3)/2, 1/2) n_c = (0, -1) (parameter a fällt weg, wegen normierung) weil P innerhalb des Dreiecks liegt, und n_x jeweils nach außen zeigt, ist d_x = n_x*X - n_x*P > 0 (aus Hessescher Normalform) der abstand des Punktes P zur Seite x (x aus {a,b,c}, X entsprechend aus {A,B,C} ein punkt auf der Seite (beachte: A liegt nicht auf a, sondern B und C)) nun ist die summe der Abstände d = d_a + d_b + d_c = n_a*B-n_a*P+n_b*C-n_b*P+n_c*A-n_c*P = n_a*B+n_b*C+n_c*A-(n_a+n_b+n_c)*P = n_a*B+n_b*C+n_c*A (beachte: n_a+n_b+n_c=(0, 0)) d ist also unabhängig von P daß dies genau die Höhe ist, sollte sich durch ausrechnen leicht zeigen können. falls P auf dem Rand des Dreiecks liegen sollte, dann ist eines der d_x = 0... was aber an der gültigkeit der nachfolgenden umformungen nichts ändert falls P außerhalb liegt, wird eines der d_x < 0, also muß |d_x| betrachtet werden... deshalb funktioniert die Gleichung dort nicht |
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