Nullstelle einer exp- Funktion mit Hilfe des Zwischenwertsatzes bestimmen

16.11.2013, 13:05

Sandy1979

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Nullstelle einer exp- Funktion mit Hilfe des Zwischenwertsatzes bestimmen

hallo zusammen.

Ich habe als Hausaufgabe für diese Woche unter anderem diese Aufgabe, wo ich jetzt noch nicht so recht weiß, was ich machen soll.

f(x) = x exp(x) + (x-1)^3 x exp(x)

Bestimmen sie mit Hilfe des. Zwischenwertsatzes, dass dieses Funktion mindestens eine. Nullstelle zwischen Wurzel aus -2 und Wurzel aus 3 hat...

Nun weiß ich leider garnicht, wie ich da ansetzen kann.

Nullstellen bestimmen geht im Prinzip, exp Funktion weiß ich auch, ist eine e- Funktion..

Aber wie geht's jetzt weiter.

Ich bin leider garnicht Form in Mathe muss aber diese Hausaufgabe machen und natürlich auch verstehen, nicht nur das Ergebnis hinklatschen, weil mir das ja letztendlich bei der Klausur dann auch nichts bringen würde.

Wäre toll, wenn mir jemand einen Lösungsansatz erklären könnte..

Lieben Dank

Sandy

16.11.2013, 13:15

bijektion

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Meinst du die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x \cdot e^x +x \cdot (x-1)^3 \cdot e^x \end{eqnarray*}$ ? Gilt hier $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder wohl eher $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{C} \to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ?
Was weißt du denn über den Zwischenwertssatz?

16.11.2013, 16:06

Sandy1979

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Hallo lieben Dank, ja diese Funktion ist gemeint. Danke.

Leider habe ich noch nie eine Begegnung mit dem Zwischenwertsatz gehabt. Ich habe mir zwar Definitionen und einzige Infos darüber durchgelesen, aber ich habe noch nie damit gerechnet und weiß jetzt nicht so recht wie ich ansetzen kann.

Den Zwischenwertsatz habe ich so verstanden, dass eine stetige Funktion f in einem abgeschlossenen Intervall [a,b] jeden beliebigen Wert zwischen f(a) und f(b) haben kann.. Also die Definition kenne ich und finde sie auch logisch, ich finde hier nur keinen Ansatz, wie ich das lösen kann..

Normal setze ich ja die Funktion gleich 0 und stelle dann nach x um, aber das funktioniert ja dann in dem Bereich nicht.

Ich hab's leider nie gehabt und muss es jetzt fürs Studium können, an der Uni bekommen wir das nicht richtig beigebracht, weil keiner Zeit hat.

LG und danke

16.11.2013, 16:09

Sandy1979

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Über den Definitions und Wertebereich steht in der Aufgabe leider nichts..

16.11.2013, 16:25

Mulder

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Der Zwischenwertsatz in dieser Form kann im Komplexen nicht angewandt werden, weil die komplexen Zahlen nicht geordnet sind. Das ist ein Satz aus der reellen Analysis.

Wenn wir aber in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind, dann solltest du folgende Angaben bitte nochmal überprüfen:

Zitat:

Nullstelle zwischen Wurzel aus -2 und Wurzel aus 3 hat...

Aber so oder so erscheint mir die Aufgabe sehr seltsam. Eine Nullstelle bei x=0 kann man auf den ersten Blick ablesen und da die Funktion sonst überall positiv ist, kann man den Zwischenwertsatz hier nicht wirklich anwenden zum Nachweis einer Nullstelle. Prüf nochmal, ob hier jeder Irrtum ausgeschlossen ist. Ich würde eigentlich vermuten, dass dein f(x) eigentlich anders aussieht.

Zitat:

Den Zwischenwertsatz habe ich so verstanden, dass eine stetige Funktion f in einem abgeschlossenen Intervall [a,b] jeden beliebigen Wert zwischen f(a) und f(b) haben kann..

Nicht nur haben kann, sondern sogar definitiv mindestens einmal annimmt. Und das eignet sich wunderbar, um die Existenz einer Nullstelle nachzuweisen. Wenn du nämlich in dem Intervall ein a findest, so dass f(a)<0 ist und ein b, so dass f(b)>0 ist, dann sagt dir der Zwischenwertsatz, dass es irgendwo zwischen a und b auch ein c geben muss, sodass f(c)=0 ist. Und diese a und b musst du halt selber suchen, da gibt es kein Rezept. Hingucken und rumprobieren gegebenenfalls. Denn wenn f teilweise unterhalb und teilweise oberhalb der x-Achse verläuft, muss f, wenn f stetig ist, ja auch irgendwann die x-Achse "überqueren". Versuch, dir das bildlich vor Augen zu führen. Die Aussage ist wirklich völlig banal.

16.11.2013, 17:22

Sandy1979

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Vielleicht habe ich mich verschrieben, Wurzel aus -2 geht ja auch garnicht es muss Wurzel aus 2 mal minus 1 heißen, ich weiß nicht wie ich das anders schreiben kann aber genaus so lautet die Aufgabenstellung

Mit Hilfe des Zwischenwertsatzes zeigen, dass f(x) = x exp(x) + (x-1)^3 exp (x^3)

Das "^" steht hier als Hochzeichen ..

..mindestens eine. Nullstelle zwischen (-1) Wurzel 2 und Wurzel 3 hat..

Ich hoffe das ist verständlich, ich kann das nicht anders schreiben

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16.11.2013, 17:23

bijektion

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Das ist aber auch eine andere Funktion als ich hingeschrieben habe.

EDIT: Die Funktion lautet also $\begin{eqnarray*} f(x)=x \cdot e^x +(x-1)^3 \cdot e^{x^3} \end{eqnarray*}$ ? Und man soll zeigen, dass zwischen $\begin{eqnarray*} - \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle liegt?

Da du ja weißt was der ZWS besagt, berechne doch einmal zwei Werte, die rechts bzw. links der Nullstelle liegen.

17.11.2013, 07:58

Sandy1979

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Guten Morgen Wink

Wink

Also ich habe als erstes die Gleichung nach 0 umgestellt, dabei kam folgendes raus.

ln(-x)^4-x-x^2 = 0

Dann habe ich einen Wert eingesetzt, der innerhalb des angegebenen Bereiches liegt. Und zwar Wurzel 1.

Raus kam, wenn ich richtig gerechnet habe ln(-1) = 0, und ln(-1) ist doch 0 ?

Was bedeutet, dass eine Nullstelle bei Wurzel 1 liegt. Und dieser im angegebenen Bereich.

Was kann ich jetzt daraus schlussfolgern und war das überhaupt richtig was ich da gemacht habe?

Danke und liebe Grüße, ich hoffe ich stell mich nicht zu dumm an.

17.11.2013, 09:24

bijektion

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Nein, das geht nicht, u.a. ist $\begin{eqnarray*} ln(-1) \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert.

Du musst ganz anders ansetzen. Setze mal $\begin{eqnarray*} - \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein und schau, was sich ergibt Wink

Wink

17.11.2013, 10:56

Sandy1979

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Hallöchen, danke für deine Antwort

Ich hab's jetzt mal mit $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ probiert, da kam jetzt das raus..

$\begin{eqnarray*} ln(-2^{3/2})-2^{3/2}+2^{1/2}-ln(-2^{1/2})=0 \end{eqnarray*}$

Kann das sein? Und wie könnte ich dann weitermachen?

Kann man den ganzen "Wust" jetzt irgendwie zusammenfassen?

Ich hoffe ich nerv nicht, aber ich bin echt dankbar, für Hilfe. Tanzen

Tanzen

17.11.2013, 11:01

bijektion

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Nein das geht so gar nicht.. Was ist denn der $\begin{eqnarray*} ln(-2^{\frac{3}{2}}) \end{eqnarray*}$ ?

Du benötigst den Logaritmus auch gar nicht; Wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=x \cdot e^x +(x-1)^3 \cdot e^{x^3} \end{eqnarray*}$ ist, dann berechne die Werte $\begin{eqnarray*} f(-\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ . Was kommt raus?

17.11.2013, 11:17

Sandy1979

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Wenn ich das in den Taschenrchner tippe, kommt eine. Zahl raus mit -13,... und -8,..

Die liegen dann beide nicht in dem angegebenen Bereich.

Die Frage ist! wie löse ich das ohne Taschenrechner und was sagt mir das .. Ich würde ja dann meinen, es gibt in dem vorgegebenem Bereich keine nullstelle ?!

LG sandy

17.11.2013, 11:24

bijektion

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Die Werte stimmen nicht.

Du brauchst auch keine konkreten Werte.

Für den ZWS benötigst du ein Intervall $\begin{eqnarray*} \left[a,b\right] \end{eqnarray*}$ und eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: D \to W \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D,W\subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b) \end{eqnarray*}$ verschiedene Vorzeichen haben. Dann muss es eine Nullstelle geben.
(EDIT: Für das Intervall muss natürlich $\begin{eqnarray*} \left[a,b\right] \subseteq D \end{eqnarray*}$ gelten)

So in deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x \cdot e^x +(x-1)^3 \cdot e^{x^3} \end{eqnarray*}$ . Dein Intervall ist $\begin{eqnarray*} \left[-\sqrt{2},\sqrt{3}\right] \end{eqnarray*}$ .
Jetzt musst du nur zeigen das $\begin{eqnarray*} f(-\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$ ein anderes Vorzeichen hat als $\begin{eqnarray*} f(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ .
Ist das klar?

17.11.2013, 11:33

Sandy1979

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Ok danke habe ich Verstande, wie das gemeint ist.

Lg

17.11.2013, 11:35

bijektion

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Gut

Freude

17.11.2013, 16:32

Sandy1979

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$\begin{eqnarray*} f(-\sqrt{2})<0<f(\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$

habe ich jetzt raus, womit dann gezeigt sein sollte, dass es im vorgegebenen Intervall eine Nullstelle gibt richtig? Bitte bitte, ich glaube nämlich, ich hab's jetzt verstanden..

LG und lieben Dank nochmal

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