Lineare Unabhängigkeit LGS und Gaußverfahren

16.11.2013, 13:20	Ascareth	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit LGS und Gaußverfahren Hallo, die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a} = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right), \vec{b} = \left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right), \vec{c} = \left( \begin{array}{r} 5 \\ 2 \\ -3 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ sind linear abhängig. Das Gaußverfahren zeigt dann: $\begin{eqnarray} \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 \end{array} \quad \quad \quad \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 \end{array} \quad \quad \quad \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \end{eqnarray}$ Die Nullen in der letzten Zeile stellen dann die lineare Abhängigkeit der 3 Vektoren dar. Ich glaube soweit habe ich das richtig verstanden? ... hoffe ich. Das Gleichungssystem zeigt jetzt: $\begin{eqnarray} \begin{array}{crrrr} I. &2 & = & u & + 5v \\ II. & 1 & = & u & + 2v \\ III. & 0 & = & 3u & -3v \end{array} \quad \quad \begin{array}{c} 1. \ I - II \Rightarrow \\ 2. \ v \ in \ II \Rightarrow \\ 3. \ v,u \ in \ III \Rightarrow \end{array} \quad \quad \begin{array}{l} 1 = 0u + 3v \Leftrightarrow v = \frac{1}{3} \\ u = 1 - 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \\ 0 = 3 \cdot \frac{1}{3} - 3 \cdot \frac{1}{3}=0 \end{array} \end{eqnarray}$ Das heißt, das überbestimmte Gleichungssystem lässt sich eindeutig lösen, wobei der Test mit der dritten Gleichung ja immer sehr wichtig ist. Erst dann kann man wirklich sagen, dass v=u=1/3 wirklich Lösungen des LGS sind. Soweit müsste das eigentlich auch hier richtig sein? Meine Frage jetzt: Es wird doch gesagt, wenn drei Vektoren Linearkombinationen von einander sind, dass es dann unendlich viele Lösungen für u und v geben muss. Stimmt das? Wenn das so ist, dann müsste es doch aber möglich sein, beispielsweise u = 5 zu setzen, so dass v sich dann entsprechend ergibt und dieses LGS sich also lösen lässt. Also so, mit u = 5: $\begin{eqnarray} \begin{array}{crrrr} I. & 2 & = & 5 & + 5v \\ II. & 1 & = & 5 & + 2v \\ III. & 0 & = & 15 & -3v \end{array} \quad \quad \begin{array}{rrrrrrr}-3 & = & 5v & \Leftrightarrow & v & = & -\frac{3}{5} \\ -4 & = & 2v & \Leftrightarrow & v & = & -2 \\ -15 & = & -3v & \Leftrightarrow & v & = & 5 \end{array} \end{eqnarray}$ Das geht aber nicht. Was habe ich da falsch verstanden? Gruß, IceRage
16.11.2013, 16:56	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Der erste Teil zeigt die lineare Abhängigkeit der drei Vektoren, da $\begin{eqnarray} r\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}=\vec{0} \end{eqnarray}$ mehr als eine Lösung besitzt. Im zweiten Teil zeigst Du nur, dass $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ in der Linearen Hülle von $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ liegt und zusätzlich, dass diese Linearkombination eindeutig ist.
17.11.2013, 13:57	Ascareth	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann müsste man sagen können: Wenn sich das LGS eindeutig lösen lässt, hat man es mit linear abhängigen Vektoren zu tun. Im Fall eines überbestimmten LGS muss natürlich zusätzlich die 3. Gleichung eine wahre Aussage ergeben. Gleichzeitig wird dann das Gaußverfahren sich zu der gezeigten Null-Zeile auflösen. Sind diese beiden Testverfahren so gesehen gleichwertig?

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