Vollständige Induktion einer Ungleichung

16.11.2013, 15:18

Johndy

Vollständige Induktion einer Ungleichung

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

ich komm mit dem Beweis irgenddwie nicht zurecht. Wäre supi wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte. Ich komme bei dem Induktionsschritt nicht weiter. P.S. bin Anfänger in der Thematik.

n!?2(n^(n-2)) für alle n ? 2 soll bewiesen werden

Meine Ideen:
Indukrionsanfang: würde ich mit n=2 machen
2! ? 2(2^(2-2))
2 *1 ? 2 * 1
2 ? 2 => Gleichung gilt

Induktionsannahme: dafür würde ich zur verdeutlichung n=k setzen
k!? 2(k^(k-2))

Indukrionsschritt: nun zeigen das es auch für den Nachfolger gilt

(k+1)! ? 2((k+1)^((k+1) -2)

k! * (k+1) ? 2((k+1)^((k+1) -2)

Bei einer normalen Gleichung würde ich jetzt K! als 2(k^(k-2)) schreiben und umstellen. Aber hier finde ich das sehr verwirrend...

Alternativ habe ich mir diesen Schritt überlegt:
(k+1)! = k! * (1+k) ? 2(k^(k-2)) * (k+1)

Aber wie käme ich dann zu 2((k+1)^((k+1) -2)) wo ich ja eigentlich hinkommen müsste oder?

16.11.2013, 15:21

Iorek

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Da hast du selber noch zu viele Fragezeichen zu klären, bevor dir jemand helfen kann. unglücklich

16.11.2013, 15:55

Johndy

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RE: Vollständige Induktion einer Ungleichung
Sorry, da ist was bein eintippen schiefgegangen. Nochmal in ordentlich:

$\begin{eqnarray*} n! \leq 2(n^{n-2}) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ ist zu beweisen

Induktionsanfang mit n=2
$\begin{eqnarray*} 2! \leq 2(2^{2-2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 *1 \leq 2 * 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2 \leq 2 \end{eqnarray*}$ => Gleichung gilt

Induktionsannahme: n=k setzen
$\begin{eqnarray*} k!\leq 2(k^{k-2}) \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt: nun irgendwie zeigen das es für Nachfolger auch gilt
$\begin{eqnarray*} (k+1)! \leq 2((k+1)^{(k+1) -2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k! * (k+1) \leq 2((k+1)^{(k+1) -2} \end{eqnarray*}$

Ab hier weiß ich nicht wirklich wie's weiter geht, da es sich ja um eine Ungleichung handelt. Sonst würde ich jetzt für K! die 2*(k^{k-2}) einsetzten aber das ist ja sehr warscheinlich unsinn.

Alternativ hatte ich mir diesen Schritt noch überlegt:
$\begin{eqnarray*} k! * (1+k) \leq 2(k^{k-2}) * (1+k) \end{eqnarray*}$

Aber da wüsste ich nicht wie ich zu $\begin{eqnarray*} 2((k+1)^{(k+1) -2}) \end{eqnarray*}$ komme wenn das mein Ziel ist... verwirrt

16.11.2013, 16:12

Iorek

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RE: Vollständige Induktion einer Ungleichung

Zitat:

Original von Johndy

Induktionsannahme: n=k setzen
$\begin{eqnarray*} k!\leq 2(k^{k-2}) \end{eqnarray*}$

Das ist so keine korrekte Induktionsannahme, das ist formal falsch. Und wieso willst du einen Buchstaben durch einen anderen ersetzen? verwirrt

Zitat:

Original von Johndy
Induktionsschritt: nun irgendwie zeigen das es für Nachfolger auch gilt
$\begin{eqnarray*} (k+1)! \leq 2((k+1)^{(k+1) -2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k! * (k+1) \leq 2((k+1)^{(k+1) -2} \end{eqnarray*}$

Es ist zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (n+1)!\leq 2((n+1)^{(n+1)-2}) \end{eqnarray*}$

Fang hier besser nur mit der linken Seite an und arbeite dich mit Abschätzungen vor:

$\begin{eqnarray*} (n+1)!=n!\cdot (n+1) \end{eqnarray*}$ , hier kannst du jetzt deine Induktionsannahme einfließen lassen und die erste Abschätzung nach oben machen.

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