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16.11.2013, 17:07	2gezer	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen Meine Frage: Hallo zusammen! Für meine Behauptung, dass die Folge konvergiert möchte ich sie in zwei teilfolgen zerlegen. Darf ich das dann so hinschreiben? a_{n} =a_{2n} +a_{2n+1} n ?N Auf eine Antwort würd ich mich sehr freuen Meine Ideen: S.o.
16.11.2013, 17:10	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, nein das geht nicht, denn sonst würde z.B. $\begin{eqnarray} a_1 =a_2 +a_3 \end{eqnarray}$ gelten.
16.11.2013, 17:30	2gezer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, ja das möchte ich natürlich nicht ok, könnte ich das dann so umformen: $\begin{eqnarray} <br /> OBdA a_{n} = b_{n} + c_{n}<br /> Mit b_{n} := a_{n} mit n= 2k<br /> Und c_{n} := a_{n} mit n = 2k+1 k\in N<br /> Beh:<br /> \lim_{n \to \infty } b_{n} = 0 <br /> \lim_{n \to \infty } c_{n} = 1 für k= 2m<br /> Und \lim_{n \to \infty } c_{n} = -1 für k= 2m-1 m\in N<br /> \end{eqnarray}$ Ich weiß einfach nicht wie ich das schöner schreiben könnte (
16.11.2013, 17:36	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Sag erstmal was genau du zeigen möchtest, offenbar geht es ja hier um etwas konkretes.
16.11.2013, 17:56	2gezer	Auf diesen Beitrag antworten »
Unregistriert darf ich wohl nicht editieren, also noch ein Versuch Gegeben ist die Folge $\begin{eqnarray} a_{n}= \frac{1}{n} + \sin(\frac{npi}{2} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> OBdA \quad a_{n} = b_{n} + c_{n}<br /> Mit \quad b_{n} := a_{n} \ \ mit \ n= 2k<br /> Und \quad c_{n} := a_{n} \ \ mit \ n = 2k+1 \quad k\in N<br /> Beh: \ \ lim_{n \to \infty } b_{n} = 0 \qquad \lim_{n \to \infty } c_{n} = 1 \quad fuer \ k= 2m<br /> Und \lim_{n \to \infty } c_{n} = -1 \quad fuer \ k= 2m+1 \ \ m\in N<br /> \end{eqnarray}$ Also Häufungspunkte von a_{n} sind 0,1,-1
16.11.2013, 18:24	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ansatz ist etwas kompliziert und auch nicht richtig gut aufgeschrieben. Ich denke es geht einfacher. Wir wollen überprüfen, ob $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ konvergiert. Wenn $\begin{eqnarray} a_n = \frac{1}{n} +sin (n \cdot \frac{\pi}{2}) \end{eqnarray}$ ist, dann muss ja $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ konvergieren, und $\begin{eqnarray} sin(n \cdot \frac{\pi}{2}) \end{eqnarray}$ auch. $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ ist denke ich kein Problem, oder? (Es ist ja für $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}< \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \geq n_0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n_0 =\lfloor \frac{1}{\epsilon} \rfloor +1 \end{eqnarray}$ .) Was passiert mit dem Sinus? Das hast du scheinbar in deinen Häufungspunkten verarbeitet, auch richtig. Schreib das nur noch vernünftig auf. Und wenn $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ mehr als einen Häufungspunkt hat, dann...? EDIT: z.B. existiert der Limes bei $\begin{eqnarray} c_n \end{eqnarray}$ nicht.
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16.11.2013, 20:05	2gezer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss nur die HPs finden Mit c stimmt, dann muss ich wohl noch mal in konvergente teilfolgen zerlegen, oder? Mir ist wichtig zu lernen wie man die Sachen korrekt und möglichst einfach aufschreibt. Deshalb dachte an sowas Beh: HP $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ sind {-1,0,1} Bew: Seien $\begin{eqnarray} \\<br /> b_{n} \ := \ a_{2k} \qquad c_{n} \ := \ a_{4k+1} \qquad d_{n} \ := a_{4k+3} \quad Teilfolgen \ von \ a_{n} \\<br /> \lim_{n \to \infty } b_{n} \ = \lim_{n \to \infty } \ \frac{1}{2k} +\sin(\frac{2k \pi}{2}) \ = \ \lim_{n \to \infty } \ \frac{1}{2k} + \lim_{n \to \infty } \sin(k \pi ) \ =0\\<br /> \lim_{n \to \infty } c_{n} \ = \ \lim_{n \to \infty } \ \frac{1}{4k+1} +\sin(\frac{(4k+1) \pi}{2} ) \ = \ \lim_{n \to \infty } \ \frac{1}{4k+1} + \ \lim_{n \to \infty } \sin(\frac{(4k+1) \pi}{2} ) \ = \ 0+ 1 \ = 1\\<br /> \lim_{n \to \infty } d_{n} \ = \ \lim_{n \to \infty } \ \frac{1}{4k+3} +\sin(\frac{(4k+3) \pi}{2}) \ = \ \ \lim_{n \to \infty } \ \frac{1}{4k+3} +\ \lim_{n \to \infty } \ \sin(\frac{(4k+3) \pi}{2} ) \ = 0 -1 \ = \ -1<br /> <br /> \end{eqnarray}$ bei mehreren Häufungspunkten ist die Folge a_n divergent, oder?
17.11.2013, 10:16	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja so ist das schon besser Da Häufungspunkte Grenzwerte von Teilfolgen sind, passt das so
18.11.2013, 18:41	2gezer	Auf diesen Beitrag antworten »
Super danke!

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