(Abschneide-)funktion definieren

16.11.2013, 17:18	_Gast_	Auf diesen Beitrag antworten »
(Abschneide-)funktion definieren Hallo ich hab ein kleines Problem bei folgender Aufgabe Meine Vorraussetzungen: Es gelte $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D(f(0))=0\\ \end{eqnarray}$ Sei nun $\begin{eqnarray} 0<\alpha<1 \end{eqnarray}$ . Da f stetig ist existiert nun eine offene Umgebung V um den Ursprung, sodass für die $\begin{eqnarray} C^1 \end{eqnarray}$ Norm von f eingeschränkt auf V gilt: $\begin{eqnarray} \\|\|f\|\|_{1_{\|V}}=\|\|f\|\|_{\|V}+\|\|Df\|\|_{\|V}<\frac{\alpha}{3} \end{eqnarray}$ So nun möchte ich gerne eine Funktion $\begin{eqnarray} f^ \end{eqnarray}$ definieren mit folgenden Eigenschaften: $\begin{eqnarray} f=f^* \end{eqnarray}$ in V, $\begin{eqnarray} f^* \end{eqnarray}$ glatt und es gilt: $\begin{eqnarray} \|\|f^\|\|_{1}<\alpha \end{eqnarray}$ Hier mein Versuch: Wir definieren uns zunächst eine Abschneide Funktion $\begin{eqnarray} \gamma:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ wie folgt: $\begin{eqnarray} \gamma \equiv 1 &\text{für } x\in B_{\frac{\alpha}{3}}(0)\\\gamma \equiv 0 &\text{für } x\in (B_{\alpha}(0))^C\\\|\|\gamma\|\|=1 &\text{und} \|\|D\gamma\|\|\leq 1\\ \end{eqnarray}$ und setzen: $\begin{eqnarray} f^=\gamma\cdot f \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} f=f^* \end{eqnarray}$ in V, $\begin{eqnarray} f^* \end{eqnarray}$ glatt und es gilt: $\begin{eqnarray} \|\|f^\|\|_{1}&=\|\|\gamma f\|\|_{1}\\&=\|\|\gamma f\|\|+\|\|D(\gamma f)\|\|\\&=\|\|\gamma\|\|\ \|\| f\|\|+\|\|D\gamma\|\|\ \|\| f\|\|+\|\|\gamma\|\|\ \|\|Df\|\|\\&=\|\|\gamma\|\|_{\|V}\ \|\| f\|\|_{\|V}+\|\|D\gamma\|\|_{\|V}\ \|\| f\|\|_{\|V}+\|\|\gamma\|\|_{\|V}\ \|\|Df\|\|_{\|V}\\&\leq\frac{\alpha}{3}+\frac{\alpha}{3}+\frac{\alpha}{3}=\alpha \end{eqnarray}$ Wobei \|\|.\|\| einfach die Supremumsnorm ist. Stimmt das so oder ist das kompletter Blödsinn- ich glaub nämlich iwie nicht das ich mir immer so ein $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ definieren kann zu gegebenem $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ zudem bezweifle ich das $\begin{eqnarray} f=f^ \end{eqnarray*}$ in gesamt V gilt Über Hilfe würde ich mich seh freuen Gruß _Gast_

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