Wohldefiniertheit und Holomorphie zeigen

16.11.2013, 17:21

steviehawk

Wohldefiniertheit und Holomorphie zeigen

Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne folgende Aufgabe lösen:

Sei $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ die offene Einheitskreisscheibe und $\begin{eqnarray*} \psi: \partial D \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig. Zeigen Sie, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f: D \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z) = \int_{\partial D} \frac{\psi(w)}{w-z} dw \end{eqnarray*}$ wohldefiniert und holomorph ist.

Meine Ideen:
Also erstmal die Wohldefiniertheit. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ hängt ja offensichtlich von dem $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ab. Ich nehme mal an, dass ich jetzt zeigen soll, dass es unabhängig von diesem $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ist oder?

Also ist zu zeigen, dass: $\begin{eqnarray*} f(z) = \int_{\partial D} \frac{\psi(w)}{w-z} dw \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(z) = \int_{\partial D} \frac{\psi(\tilde w)}{\tilde w-z} d \tilde w \end{eqnarray*}$ gleich sind.

Folgt das jetzt nicht sofort aus der Cauchyschen Integralformel?

Danke für die Hilfe

16.11.2013, 17:58

Che Netzer

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RE: Wohldefiniertheit und Holomorphie zeigen
Und welche Voraussetzungen werden an $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ gestellt?

16.11.2013, 18:01

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit und Holomorphie zeigen
$\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ist stetig. Habe es noch editiert.

16.11.2013, 18:06

Che Netzer

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RE: Wohldefiniertheit und Holomorphie zeigen
Okay. Dann zuerst zur Wohldefiniertheit: Von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ hängt da nichts ab, das ist ja nur die Integrationsvariable. Wie man die nennt, ist natürlich vollkommen egal.
Stattdessen solltest du zeigen, dass das Integral überhaupt existiert.

16.11.2013, 18:12

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit und Holomorphie zeigen
Zur Existenz würde ich sagen, dass:

$\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ja als reell stetige Funktion eine Stammfunktion besitzt. Da $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ offen ist, kann $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ selber nicht auch auf dem Rand liegen wie $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ . Also habe ich einen stetigen Integranden. Das Integral existiert also.

16.11.2013, 18:14

Che Netzer

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RE: Wohldefiniertheit und Holomorphie zeigen

Zitat:

Original von steviehawk
Also habe ich einen stetigen Integranden. Das Integral existiert also.

Ja, das ist hier das wichtigste. Bei der Definition von Kurvenintegralen habt ihr sicher festgestellt, dass man stetige Funktionen problemlos über kompakte/geschlossene Kurven integrieren kann.

Um nun die Holomorphie zu zeigen, kannst du ganz direkt nach der Definition über Differenzierbarkeit gehen.

16.11.2013, 18:25

steviehawk

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RE: Wohldefiniertheit und Holomorphie zeigen
Ana 2 liegt leider schon etwas zurück. Unter welchen Bedingungen kann ich hier direkt unter dem Integral differenzieren?

hier habe ich glaube ich das richtige: http://www.mathepedia.de/Parameterintegrale.aspx

$\begin{eqnarray*} g(z,w) = \frac{\psi(w)}{w-z} \end{eqnarray*}$ ist ja stetig,

$\begin{eqnarray*} g_z(z,w) = \frac{\psi(w)}{(w-z)^2} \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls stetig.

Also kann ich unter dem Integral differenzieren und die Ableitung ist stetig, also ist f holomorph.

16.11.2013, 20:49

Che Netzer

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RE: Wohldefiniertheit und Holomorphie zeigen
Ja, das war's auch schon.

Das letzte Argument ist eigentlich dasselbe wie das, mit dem man aus der Cauchy-Integralformel direkt folgert, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar sind (ohne den Umweg über Potenzreihen).

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