Dichtefunktion, Parameter berechnen

16.11.2013, 17:28

muab

Dichtefunktion, Parameter berechnen

Hallo zusammen,
ich hab da mal so ein paar Fragen zu folgender Aufgabe (Uni, Stochastik-Vorlesung):

Zitat:

Eine stetige Zufallsvariable X hat den Erwartungswert E(X) = 2/3 und die Dichte f von der Form:

$\begin{eqnarray*} f=ax^2 + b, 0<x<1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f=0, sonst. \end{eqnarray*}$

Berechnen sie die Parameter a, b und die Verteilungsfunktion von X.

Ich bin mir jetzt nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe. Mein Ansatz ist: laut Definition der Dichtefunktion hat sie die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty \! f(x) \, dx = 1 \end{eqnarray*}$ . Da f außer in dem Intervall (0,1) sowieso 0 ist, würde ich das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! f(x) \, dx = 1 \end{eqnarray*}$ bestimmen und die Gleichung nach b umstellen... darf ich das, obwohl 0 und 1 nicht im Intervall eingeschlossen sind? Ich meine, es geht doch sowieso auf denselben Wert zu, oder nicht?
Unter der Annahme, daß das geht, hab ich jedenfalls einfach mal b wie o.g. ausgerechnet (-1/3a + 1), in meiner Dichtefunktion eingesetzt, und durch ausnutzen der Eigenschaft des Erwartungswerts $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty \! x*f(x) \, dx = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ wieder im Intervall (0,1) integriert, diesmal nach a umgestellt, a=2 erhalten.
Ich hab dann beides in die ursprüngliche Funktion eingesetzt, Eigenschaften für eine Dichtefunktion überprüft (Integral = 1, f(x) >= 0), und es würde so tatsächlich passen.
Wo ich mir nicht sicher bin: ist das der richtige Ansatz, gibt es überhaupt nur exakt eine Funktion dieser Form mit diesem Erwartungswert in diesem Intervall?
Darf ich so integrieren, wie ich es gemacht hab? Wenn nein, wie sonst?
Besten Dank im Voraus,
Chris

16.11.2013, 17:39

Kasen75

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Hallo,

ich bin genauso vorgegangen und habe auch a=2 heraus.

Grüße.

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