Messbare Funktion f und der Betrag von f

16.11.2013, 20:39

Till1990

Messbare Funktion f und der Betrag von f

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich sitze gerade an einer Aufgabe aus Ana III, es ist folgendes gegeben:

$\begin{eqnarray*} (X,A) \end{eqnarray*}$ ein messbarer Raum, und sei $\begin{eqnarray*} f:X \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Funktion. Zu zeigen ist, es gilt:

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ -messbar $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ -messbar

Meine Ideen:
Die erste Richtung habe ich schon gezeigt.

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ -messbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow -f \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ -messbar,
$\begin{eqnarray*} |f|=max(-f,f) \Rightarrow |f| \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ -messbar.

Für die Rückrichtung habe ich noch nicht den passenden Gedanken.

Bisher habe ich stehen:

Sei $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ -messbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow -|f| \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ -messbar.

Bei den weiteren Schritten fehlt mir gerade die passende Idee, ich habe auch noch nicht ganz verstanden ob $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf ein $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder gar auf ein Intervall $\begin{eqnarray*} (a,b)\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder noch besser, eine nicht zusammenhängende Teilmenge aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ abbildet.

16.11.2013, 20:56

Che Netzer

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RE: Messbare Funktion f und der Betrag von f

Zitat:

Original von Till1990
Für die Rückrichtung habe ich noch nicht den passenden Gedanken.

Kein Wunder, die ist nämlich falsch.

16.11.2013, 21:00

Till1990

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Eine weitere Idee zur Lösung
Ich habe mir jetzt folgendes gedacht:

Ich betrachte die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann ist

$\begin{eqnarray*} f^{-1} (a) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f(a)|^{-1} \in A , a\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-|f(a)|)^{-1} \in A , a< 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} f A \end{eqnarray*}$ -messbar, da wir die Umkehrabbildung angeben können.

16.11.2013, 21:00

Till1990

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Warum falsch? Kannst du das mit einem Beispiel belegen?

16.11.2013, 21:02

Che Netzer

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Ja, kann ich. Aber das ist vermutlich deine Aufgabe Augenzwinkern

Du kannst dazu eine Funktion suchen, die nur Werte in $\begin{eqnarray*} \{-1,1\} \end{eqnarray*}$ annimmt, aber nicht messbar ist.

16.11.2013, 21:09

Till1990

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Geht das so?

X={a,b} mit der trivialen Sigma-Algebra A={ {}, {a,b} }. Nun sei f: X->R gegeben durch f(a) = -1, f(b) = 1.

Offenbar ist |f| messbar, denn das Urbild von |f| ist entweder leer oder enthält a und b. In beiden Fällen liegt das Urbild in A.
f kann jedoch nicht messbar sein, denn f^{-1}((0,2))={b} ist nicht in A enthalten.

16.11.2013, 21:12

Che Netzer

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Zitat:

Original von Till1990
Offenbar ist |f| messbar, denn das Urbild von |f| ist entweder leer oder enthält a und b. In beiden Fällen liegt das Urbild in A.

Ja, konstante Funktionen sind immer messbar.

Zitat:

f kann jedoch nicht messbar sein, denn f^{-1}((0,2))={b} ist nicht in A enthalten.

Genau.

Allgemeiner: Ist $\begin{eqnarray*} B\subset X \end{eqnarray*}$ nicht messbar, so ist $\begin{eqnarray*} \chi_B-\chi_{B^{\mathrm c}} \end{eqnarray*}$ ein Gegenbeispiel, wobei $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ die Indikatorfunktion bezeichne.

23.11.2022, 18:12

HiBee123

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Hallo Matehboard,

ich arbeite an einer ähnlichen Aufgabe und hab diesen Beitrag gesehen und frage mich wo in f^{-1}(0,2)=a aufeinmal dieses 0,2 herkommt?

Müsste es nicht heißen f^{-1}(1)=a?

Bin etwas irritiert, wäre nett wenn das jemand erklären könnte,

Grüße,
eure HiBee.

23.11.2022, 19:40

IfindU

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Korrekt wäre $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{1\})=\{b\} \end{eqnarray*}$ .

Es gilt aber auch $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{1,2,3,4\})=\{b\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\mathbb N)=\{b\} \end{eqnarray*}$ oder wie in dem Fall $\begin{eqnarray*} f^{-1}((0,2))=\{b\} \end{eqnarray*}$ , und für jede Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1 \in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \not\in X \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f^{-1}(X)=\{b\} \end{eqnarray*}$ .

Hier meint man die Umkehrabbilddung, nicht die (potentiell undefinierte) Umkehrfunktion.

23.11.2022, 19:49

HiBee123

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Ah okay,

aber es bleibt wunderlich, weil es gilt doch
$\begin{eqnarray*} 1\notin \{0,2\} \end{eqnarray*}$

23.11.2022, 20:20

IfindU

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Nicht die Menge 0, 2. Das offene Intervall von 0 bis 2!

23.11.2022, 20:26

HiBee123

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Ach sooo