Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
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16.11.2013, 20:49 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Meine Frage:
Hallo Leute!

Gerade sitze ich vor meinen Matheaufgaben und bin am verzweifeln.
Eine Aufgabe davon ist: Gegeben ist die Funktion 1/(1+x^2) Es soll das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt gefunden werden. Wie ist dessen Breite b zu wählen?


Meine Ideen:
Leider habe ich bis dato noch keine eigene Idee.
Ich denke man benötigt die Ableitung für Extremstellen oder Wendepunkte?
f'(x)= -2/(1+x)^3 (habe ich zumindest raus bekommen)

Ich hoffe ihr könnt mir das erklären, ich weiß einfach nicht wie ich drauf komme.

Liebe Grüße, eine verzweifelte Studentin
16.11.2013, 21:00 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Schreibe bitte die vollständige Aufgabenestellung auf.

Wo genau soll das Rechteck liegen?


edit: Ich nehme mal an, unter dem Graphen im ersten und zweiten Quadranten. Weiterhin nehme ich an, dass die oberen Ecken des Rechtecks auf dem Graphen liegen sollen.

Mache dir also Gedanken zur Formel für ein Rechteck.
Denke weiterhin über die Ecken des Rechtecks nach.

smile
16.11.2013, 21:21 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Wir haben dazu noch folgende Graphik bekommen (Halbkreis nicht beachten)

Liebe Grüße

... Wobei das keinen Sinn macht wenn ich mir das so ansehe
16.11.2013, 21:25 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Das macht jetzt nicht wirklich Sinn mit dem, was ich so zu der Aufgabe denke.

Meine Idee war so:

[attach]32120[/attach]

Hast du die komplette Aufgabenstellung aufgeschrieben? verwirrt
16.11.2013, 21:29 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Ich hab mir den Graph mal mit dem Taschenrechner zeichnen lassen.

Ein Rechteck ist a*b (Breite * Länge) aber da komm ich nicht weiter. 2 Eckpunkte vermute ich direkt auf der Funktion
16.11.2013, 21:30 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Ja, ist die komplette Aufgabe, 1 zu 1 kopiert. Aber woher weiß ich, ob dass das größte Rechteck ist? Und wie komm ich rechnerisch drauf?
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16.11.2013, 21:35 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Eine Frage: Bist du wirklich Studentin? Die Aufgabe ist eigentlich Niveau 11./12. Klasse.

Man muss natürlich rechnen. Meine Zeichnung des Rechtecks ist eine Skizze zur Veranschaulichung, was ich meine. Augenzwinkern

Für die Rechnung sollten wir uns auf den ersten Quadranten beschränken, das ist einfacher.
Wir haben also Länge * Breite.
Wie können wir diese Werte mit Hilfe von f(x) umschreiben?

smile
16.11.2013, 21:43 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Ja, ich bin tatsächlich Studentin Augenzwinkern Und das sogar von einem Ingenieursstudium. Leider war ich noch nie gut in Mathe und muss jetzt einiges nachholen...
16.11.2013, 21:46 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Hmm, nun denn, holen wir ein wenig Stoff auf. Augenzwinkern

Was kannst du zu der Aufgabe sagen? Wie lassen sich die Länge und Breite des zu bildenden Rechtecks mit f(x) ausdrücken?
Wie gesagt: Wir beschränken uns auf den ersten Quadranten.

smile
16.11.2013, 21:46 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Also, ich weiß ja, dass ein Punkt (A) auf der Funktion liegen muss. Im 1. Quadranten.
16.11.2013, 21:47 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
A(x|f(x)) ?
16.11.2013, 21:49 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Ja, das stimmt. Und wie breit ist jetzt das (halbe) Rechteck und wie hoch?
16.11.2013, 21:53 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Also muss ich dann quasi jetzt einfach mein f(x) einsetzen?
A(x|1/(1+x)^2
16.11.2013, 21:54 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Aber wie mache ich dann weiter?
16.11.2013, 21:57 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Naja, im Prinzip schon. Du hast also die Koordinaten des Punktes aufgeschrieben.

Nur interessiert uns weniger der Punkt als die Rechteckfläche. Schau dir meine Skizze an und überlege, wie du die Höhe benennen kannst und die Breite.

A(x) = ....... * .......

Das möchte ich ausgefüllt haben.
Und A(x) ist nicht der Punkt A sondern die Fläche A = a*b (Breite*Länge)

smile
16.11.2013, 21:59 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
1/2x*y?
16.11.2013, 21:59 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Halt, stop. Wie lautet denn nun die Funktionsgleichung?

Zitat:
Original von Piixii
A(x|1/(1+x)^2

Zitat:
Original von Piixii
Gegeben ist die Funktion 1/(1+x^2)


So: 1/(1+x)^2 edit: Diese Version macht nicht wirklich Sinn.

Oder so: 1/(1+x^2) edit: So ist es wohl richtig.

verwirrt
16.11.2013, 22:02 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Oh, Entschuldigung! Ist natürlich 1/(1+x^2) !
16.11.2013, 22:09 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Richtig, war wohl ein Tippfehler.

Aber ich warte immer noch auf eine Antwort.
Wie weit entferne ich mich auf der x-Achse von Ursprung, bis ich zum rechten Rand des Rechtecks komme?

Und wie weit entferne ich mich auf der y-Achse von Ursprung, bis ich zum oberen Rand des Rechtecks komme?

[attach]32121[/attach]
16.11.2013, 22:13 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Ich dachte an 0,5x*y, aber scheint ja nicht zu stimmen. Ansonsten habe ich keine Ahnung wie ich das ausdrücken kann? verwirrt
16.11.2013, 22:15 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Die Breite ist doch genau x.
Du gehst so weit, bis du an den Rand des Rechtecks kommst, an dem ja auch der Punkt A ist. Und das ist dann eben x.

Und die Höhe?
Wie hoch gehst du, bis du an den Rand des Rechtecks kommst? Denke an den Punkt A.

smile
16.11.2013, 22:20 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Also jetzt steh ich komplett aufm Schlauch?
16.11.2013, 22:22 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Dann frage ich anders herum:
Was geben denn die Koordinaten von A, die du ja sehr schön mit A(x|1/(1+x²)) aufgeschrieben hast, an?
16.11.2013, 22:25 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Das der Punkt auf x und bei y auf 1/(1+x^2) liegt
16.11.2013, 22:27 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Ja richtig Freude , und die Koordinaten geben auch den Abstand vom Ursprung an, also genau das, was wir suchen.

smile
16.11.2013, 22:31 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Aber dann kommt man doch nicht weiter? Also das sagt mir ja, dass ich um den Wert x nach rechts gehe und für den Wert 1/(1+x^2) nach oben?
16.11.2013, 22:34 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Richtig. Freude

Und genau das brauchen wir doch.
Wir haben also für die Flächengleichung folgendes: A(x) = x * 1/(1+x²)

Soweit klar?

Das muss jetzt abgeleitet werden.

smile
16.11.2013, 22:46 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Okay, soweit verstanden Freude

A(x)= x*1/(1+x^2)
Umformen x*1*(1+x^-2)
f'(x)= -2x(1+x^-3)*1
f'(x)= -2x/ (1+x^3)

Stimmt die Ableitung soweit?
16.11.2013, 22:49 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Nicht ganz.

A(x)= x*1/(1+x²)

Umformen x*(1+x²)^-1

Und jetzt würde ich an die Produkt- und die Kettenregel denken.
Du kannst auch ohne Umformen mit der Quotientenregel arbeiten.

smile
16.11.2013, 22:59 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
A(x)= 1-x^2/ (x^2+1)^2
So, jetzt stimmt es aber hoffentlich?
16.11.2013, 23:01 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Ja, wenn du noch eine Klammer setzt: A'(x)= (1-x²)/ (x²+1)² Freude

Diese erste Ableitung muss jetzt Null gesetzt werden und nach x aufgelöst werden.

smile
16.11.2013, 23:16 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Kann ich den Term (x²+1)² vereinfachen? das ² stört
16.11.2013, 23:18 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
0 = (1-x²)/ (x²+1)²

Multipliziere die Gleichung mit dem Nenner. Du erhältst: 0 = 1 - x²

Jetzt nach x auflösen.

smile
16.11.2013, 23:25 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Hammer Oh nein, das hab ich mir gleich am Anfang gedacht, aber dachte dann, dass es so einfach nicht gehen wird Big Laugh

Okay, dann bekomm ich für x= 1 raus ________________________________________________________________

Und dann setze ich 1 für f(x) ein? ________________________________________________________________

Dann habe ich A(1|0,5)
________________________________________________________________

Und für Punkt B (-1|0,5)
________________________________________________________________

edit von sulo: Vierfachpost zusammengefügt.
16.11.2013, 23:30 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Die Punkte interessieren weniger. Augenzwinkern edit: Obwohl sie natürlich richtig ermittelt sind. Freude

Wir haben also x1 = 1 bzw. x2 = -1.

Das sind also die Grenzen unseres Rechtecks.

Nun kannst du sicher sagen, wie breit es ist.

smile
16.11.2013, 23:33 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
2
16.11.2013, 23:35 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Ja, das ist die gesuchte Größe. Freude

b = 2
16.11.2013, 23:36 Piixii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Puh, sehr schwierige Geburt. Aber vielen lieben Dank für die großartige Hilfe und das sogar an einem Samstag Abend!
16.11.2013, 23:37 sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechteck mit dem größten Flächeninhalt innerhalb einer Funktion
Gern geschehen. smile

Gute Nacht. Wink
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