Diffeomorphismus Eigenschaft

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egra Auf diesen Beitrag antworten »
Diffeomorphismus Eigenschaft
Hallo,
ich bin bei meinen Aufzeichnungen auf folgendes gestoßen, was ich ncith so ganz genau verstehe:

Sei F ein Diffeomorphismus von und A=DF(0) (Jakobimatrix von F im Punkt Null)
dann gilt für entweder

oder

Irgendwie habe ich auch keine Idee wie ich dies zeigen kann. Hilft mir vielleicht die invertierbarkeit von a weiter?

Schon mal Danke ich vorraus für die Hilfe

Gruß egra
egra Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein das die Aussage überhaupt gar nicht stimmt? Wenn ich zum Beispiel als Diffeomorphismus die Identitätsabbildung nehme - dann ist die Jakobimatrix ja die Einheitsmatrix und für die gilt die Behauptung ja offensichtlich nicht... komisch verwirrt Oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?
egra Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir hier denn niemand helfenunglücklich bzw. sagen ob mein Gegenbeispiel richtig oder falsch ist? Ich versteh diesen Teil meiner Aufzeichnungen nämlich immer noch nicht unglücklich
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

An deinem Gegenbeispiel habe ich nichts auszusetzen.
egra Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke, dann habe ich wahrscheinlich einfach irgendetwas übersehen. Es geht um den Beweis von Hartman-Grobman in der Version für Diffeomorphismen:


Zitat:
If zeta is a hyperbolic fixed point for the diffeomorphism F:R^n -> R^n, then there is an open set U R^n containing zeta and a homeomorphism H with domain U such thatwhenever x U and both sides of the equation are defined.


und im Beweis steht dann:

Assume, without loss of generality, that zeta is the origin of R^n. Also, define A:= DF(0) and note that, because F is a diffeomorphism, A is an invertible hyperbolic linear transformation
....
In fact, because A is a hyperbolic linear transformation on R^n, if , then either



Ach, mir fällt gerade auf das ich die Norm immer ignoriert habe-.- (soll die Norm sein) ... aber ich sehe jetzt nicht warum das einen Unterschied machen sollte.

Achja dies ist aus dem Buch "Ordinary Differential Equations with Applications (Texts in Applied Mathematics)" von Chicone, Kapitel 4 entnommen (falls es jemand nachlesen möchte)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von egra
In fact, because A is a hyperbolic linear transformation on R^n, if , then either

Hier hattest du das Stichwort "hyperbolic" nicht beachtet.


Zitat:
Ach, mir fällt gerade auf das ich die Norm immer ignoriert habe-.- (soll die Norm sein)

Und welche soll das sein? Wir sind doch in .
 
 
egra Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke erstmal.
Aber dann verstehe ich nicht warum A hyperbolisch ist (bzw. hyperbolisch bedeutet doch einfach das A sowohl positive als auch negative Eigenwerte hat und keine EW hat die =0 sind, oder? So hab ich mir das zumindest gedacht. Im Internet finde ich auch irgendwie keine bessere Def) und warum daraus die behauptete limes eigenschaft folgt verstehe ich auch irgendwie nicht...

Zur Norm: Es muss wohl die Operatornorm sein, welche durch die Supremumsnorm induziert wird, oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicMap.html
egra Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke (das mit dem limes Argument ist dann klar)
Aber für mich ist immer noch nicht klar warum A (nach Konsturktion) hyperbolisch ist.

Da der Nullpunkt ein hyperbolischer punkt ist weis ich ja nur das die eigenwerte von DF(0) immer einen Realteil ungleich 0 haben und daraus kann ich das ja nicht folgern...
(Sorry ich glaube mir fehlen für den Beweis so ein bisschen die Grundlagen)
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