Kehrwert einer konvergenten Folge

16.11.2013, 22:05

Kääsee

Kehrwert einer konvergenten Folge

Huhu,
ich stehe schon wieder vor einem eigentlich relativ leichten Problem, dass ich trotzdem nicht gelöst bekomme.
Folgendes: Ich habe eine konvergente Folge gegeben, also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} (x_n)=x \end{eqnarray*}$

Jetzt will ich zeigen, dass der Kehrwertes der Folge auch gegen den Kehrwert des Grenzwertes geht (sofern ungleich 0). Das heißt, zu zeigen ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \left(\frac{1}{x_n}\right)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{x-x_n}{x_nx}\right|=\frac{1}{|x_nx|}\cdot|x-x_n| \end{eqnarray*}$

So, jetzt weiß ich ja, dass sich für den rechten Faktor für jeden Index n* immer ein Epsilon finden lässt, sodass für alle größeren n der Betrag kleiner als dieses Epsilon ist (da $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gegen x konvergiert)
Und ich will ja rauskriegen, dass $\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x}\right| \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Nur was mache ich mit dem ersten Faktor? Kann ich dafür einfach eine Konstante setzen?

LG

16.11.2013, 22:33

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Musst du oder willst du das mit Epsilon zeigen? Augenzwinkern

Grenzwertsätze erschlagen diese Aussage eigentlich, oder sollst du diese gerade zeigen?

Da $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ konvergent ist, ist die Folge auch beschränkt, damit könntest du eine Abschätzung hinbekommen. Alternativ erhält man z.B. mit der Dreiecksungleichung auch $\begin{eqnarray*} |x|-|x_n|\leq|x-x_x|\leq \frac 12|x| \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Auch das könnte man verwenden.

16.11.2013, 22:49

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Grenzwertsätze will ich zeigen bzw. den Grenzwertsatz für Quotienten darf ich nicht benutzen, den für Summen und Produkte schon.

Wenn die Folge beschränkt ist, gibt es also eine Konstante c>0, sodass $\begin{eqnarray*} |x_n|\leq c \end{eqnarray*}$ für alle n?
Bringt mir das was?

Zitat:

Original von Iorek
Alternativ erhält man z.B. mit der Dreiecksungleichung auch $\begin{eqnarray*} |x|-|x_n|\leq|x-x_x|\leq \frac 12|x| \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Auch das könnte man verwenden.

Ist das eine "umgekehrte" Dreiecksgeleichung? Ich habe nur die mit $\begin{eqnarray*} |x-x_x|\leq|x|+|-x_n|=|x|+|x_n| \end{eqnarray*}$ kennengelernt.

Und auf das 1/2 kommst du wie?
Sorry für die blöden Fragen. unglücklich

16.11.2013, 22:54

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kääsee
Ja, die Grenzwertsätze will ich zeigen bzw. den Grenzwertsatz für Quotienten darf ich nicht benutzen, den für Summen und Produkte schon.

Wenn die Folge beschränkt ist, gibt es also eine Konstante c>0, sodass |x_n|\legc für alle n?
Bringt mir das was?

Du kannst hier sogar noch mehr sagen, da du nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ hast. Darauf wollte ich u.A. auch mit der Dreiecksungleichung hinaus. Ich meine übrigens die zweite Dreiecksungleichung, die kann auch manchmal ganz nützlich sein. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Kääsee
Und auf das 1/2 kommst du wie?
Sorry für die blöden Fragen. unglücklich

Auf das $\begin{eqnarray*} \frac 12 \end{eqnarray*}$ komme ich, weil ich eine ganz bestimmte Abschätzung im Sinn hab, da hätte aber auch $\begin{eqnarray*} \frac 13 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac 1{27} \end{eqnarray*}$ stehen können. Wenn wir es zunächst mal bei den $\begin{eqnarray*} \frac 12 \end{eqnarray*}$ belassen, was könntest du dann mit Hilfe dieser Ungleichung über $\begin{eqnarray*} |x_n| \end{eqnarray*}$ sagen?

16.11.2013, 23:16

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme nicht drauf, was du mir mit $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ sagen willst unglücklich

Und mit der zweiten Dreiecksungleichung würde ich dann lieber auch nichts machen wollen, weil wir die nicht behandelt haben.

Zitat:

Original von Iorek
was könntest du dann mit Hilfe dieser Ungleichung über $\begin{eqnarray*} |x_n| \end{eqnarray*}$ sagen?

$\begin{eqnarray*} |x_n|\geq \frac{1}{2}|x| \end{eqnarray*}$ ?

16.11.2013, 23:25

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Da der Grenzwert nicht 0 ist, kannst du eine bessere untere Grenze für die Folge angeben. So existiert ein z.B. ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N,m\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<m<x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m\leq|x_n| \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ . Insbesondere lässt sich eben auch $\begin{eqnarray*} m=\frac 12|b| \end{eqnarray*}$ wählen.

Die zweite Dreiecksungleichung ist hier wie gesagt auch nicht nötig, es wäre nur eine Alternative Begründung gewesen.

16.11.2013, 23:55

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kehrwert einer konvergenten Folge

Zitat:

Original von Iorek
Insbesondere lässt sich eben auch $\begin{eqnarray*} m=\frac 12|b| \end{eqnarray*}$ wählen.

Meinst du $\begin{eqnarray*} m=\frac 12|x| \end{eqnarray*}$ ?

Und würde es dann so weitergehen:

$\begin{eqnarray*} ...=\frac{1}{|x_nx|}\cdot|x-x_n|=\frac{1}{|x_n|\cdot |x|}\cdot|x-x_n|\leq \frac{1}{\frac{1}{2}|x|\cdot |x|}\cdot|x-x_n|=\frac{2}{x²}\cdot|x-x_n| \end{eqnarray*}$

16.11.2013, 23:58

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das sollte natürlich ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sein. Deine weitere Abschätzung ist soweit auch korrekt. Jetzt muss das nur noch irgendwie mit einem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ in Verbindung gebracht werden, das sollte aber nun eigentlich kein Problem mehr sein. smile

17.11.2013, 00:11

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kehrwert einer konvergenten Folge
Also lege ich einfach fest, dass man zu ein n* finden kann, sodass
$\begin{eqnarray*} |x-x_n|\leq \frac{\epsilon b²}{2}\forall n\geq n* \end{eqnarray*}$

?

17.11.2013, 00:13

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du statt dem $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ nimmst und noch kurz begründest, weshalb du das so festlegen kannst: Freude

17.11.2013, 00:21

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Iorek
Wenn du statt dem $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ nimmst

Haha

jetzt habe ich schon dein b übernommen^^
Da ja x der Grenzwert der Folge ist, lässt sich doch ein beliebig kleines Epsilon finden, bzw. eine Konstante, sodass alle Folgeglieder mit größerem Index innerhalb dieser Umgebung liegen, oder nicht?

17.11.2013, 00:24

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ist das als "Begründung" etwas hochgegriffen. Es sollte einfach noch erwähnt, dass $\begin{eqnarray*} \frac {\varepsilon x^2}2>0 \end{eqnarray*}$ ist und deshalb nach Voraussetzung ein $\begin{eqnarray*} n^* \end{eqnarray*}$ existiert...ist also nur noch formaler Aufschrieb. Denk aber auch daran, dass wir mittendrin irgendwo schon einmal ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gebraucht haben, du solltest also insgesamt das Maximum dieser zwei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nehmen.

17.11.2013, 00:28

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke =)

Neue Frage »

Antworten »

Kehrwert einer konvergenten Folge

Verwandte Themen