Grenzwert bestimmen

17.11.2013, 14:44

Lynn2

Grenzwert bestimmen

Meine Frage:
Guten Tag. smile

Ich soll für $\begin{eqnarray*} b:= \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$ den Grenzwert bestimmen.

Meine Ideen:
Meine Idee ist die geometrische Summenformel anzuwenden. Doch nun weiß ich nicht, ob ich das darf, da ich keinen Exponenten gegeben habe. Oder darf ich einfach den Exponenten 1 verwenden?

17.11.2013, 15:51

DerJFK

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Ist evtl. noch mehr über die Folge $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ bekannt?

Schau dir nochmal die Definition der geometrische Reihe an und überlege dir nochmal wie du sie anwenden möchtest

17.11.2013, 16:43

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen a. Sorry, dass ich dies vergessen habe.

17.11.2013, 16:47

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} b:= \frac{1}{n} \sum\limits_{l=0}^{n-1} a_{l-1} = \frac{1}{n} \cdot \frac{(1-a_{l-1})^{n-1}}{1-a_{l-1}} \end{eqnarray*}$

So dachte ich!

17.11.2013, 16:57

DerJFK

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Geometrische Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

betrachten wir nochmal deine Reihe: $\begin{eqnarray*} \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$

wo haben diese beiden Reihen etwas gemeinsam?

Überlege dir mal was bedeutet denn das $\begin{eqnarray*} a_k \overset{k \rightarrow \infty}{\rightarrow} a \end{eqnarray*}$ ? Also was für eine Konsequenz hat das für deine Reihe?

17.11.2013, 18:21

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$
Meine Reihe hat damit kaum was zu tun, da meine Reihe bei $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ beginnt und keine Potenz hat. Eine Gemeinsamkeit ist, dass beide bei n enden.
Wenn $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert und $\begin{eqnarray*} \frac {1}{n} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann konvergiert meine Reihe insgesamt gegen 0?

17.11.2013, 18:40

DerJFK

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Die geometrische Reihe hat einen festen Wert $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ welcher potenziert wird, du hast hingegen eine beliebige konvergente Folge. D.h. $\begin{eqnarray*} a_k=q^k, |q|<1 \end{eqnarray*}$ wäre eine mögliche Folge. Du kannst dir das ja mal als spezialfall nehmen und schauen wie der Grenzwert aussieht, vielleicht bekommst du dann eine Idee wie der allgemeine Limes aussehen muss. (Die geometrische Reihe bringt dir nichts)

Du hast eine beliebige Folge $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ welche gegen den Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Definition vom Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} \forall n \ge n_\varepsilon : |a_n - a | < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Betrachte jetzt mal deine Reihe: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$ was passiert denn nun mit den summanden $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sehr groß wird?

17.11.2013, 19:10

Lynn2

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Dann geht alles gegen Null.

17.11.2013, 19:25

DerJFK

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Was meinst du damit, alles geht gegen null?

Wenn du $\begin{eqnarray*} a_k = q^k, \ |q|<k \end{eqnarray*}$ wählst, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k = 0 \end{eqnarray*}$

Anscheinend besitzt die Reihe den gleichen Grenzwert wie die Folge. Wollte dich damit anstoßen, dass das vielleicht für beliebige konvergente Folgen gilt.

Die Definition des Grenzwertes sagt uns doch, dass sich die Folgeglieder ab einer bestimmten Größe nur noch um ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ vom Grenzwert unterscheiden.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^{n_\varepsilon} a_k + \sum_{k=n_\varepsilon}^{n} a_k \end{eqnarray*}$

Schau dir mal genau die Definition vom Grenzwert und die gesplittete Summe an: $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} \forall n \ge n_\varepsilon : |a_n - a | < \varepsilon \end{eqnarray*}$

was genau kann kannst du über beiden Teile der der Summe: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^{n_\varepsilon} a_k + \sum_{k=n_\varepsilon}^{n} a_k \end{eqnarray*}$ aussagen?

17.11.2013, 20:26

Lynn2

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Aber kann das überhaupt so sein? Denn $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert ja gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ! Dann kann $\begin{eqnarray*} \lim_{k \rightarrow \infty} a_k = 0 \end{eqnarray*}$ nicht gelten.

17.11.2013, 20:36

DerJFK

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Ich glaub du hast da etwas missverstanden.

$\begin{eqnarray*} q^k, |q|<1 \end{eqnarray*}$ bildet eine Nullfolge, und ich habe gesagt, wenn du $\begin{eqnarray*} a_k = q^k \end{eqnarray*}$ setzt gilt eben auch der Grenzwert $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ .

Das sollte ein Beispiel sein, damit du es für einen Fall explizit betrachten kannst! Die Behauptung ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \rightarrow \infty} a_k =a \Longrightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k =a \end{eqnarray*}$

Man kann nicht immer algorithmisch bzw. mit Schema F einen Grenzwert bestimmen, manchmal muss man aus der Intuition heraus den Grenzwert sehen und zeigen, dass er es tatsächlich ist.

In diesem Fall kann man sich denken, dass wenn eine Folge konvergiert und wir das arithmetische Mittel der Folge bilden. Sollte wohl wieder der Grenzwert von der Folge herauskommen.

Versuche jetzt mal mit der Definition vom Grenzwert und der Aufteilung der Summe (die ich dir gezeigt habe) zu argumentieren, warum die Summe ebenfalls gegen den Grenzwert der Folge konvergiert.

17.11.2013, 20:47

Lynn2

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Meinst du, dass beide Summen jeweils kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac {\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ ?

17.11.2013, 20:48

DerJFK

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Schreib bitte genauer aus was du meinst, welche beiden Summen?

17.11.2013, 20:49

Lynn2

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Zitat:

Original von DerJFK
...
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^{n_\varepsilon} a_k + \sum_{k=n_\varepsilon}^{n} a_k \end{eqnarray*}$ aussagen?

Diese beiden Summen meine ich.

17.11.2013, 20:51

DerJFK

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Wieso sollten beide Summen kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ sein? Argumentiere bitte! Woraus soll das folgen?

17.11.2013, 20:56

Lynn2

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Ehrlich gesagt, weiß ich es nicht. Habe das nur mal irgendwo gelesen gehabt! unglücklich

17.11.2013, 21:04

DerJFK

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Grenzwert Definition: $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} \forall n \ge n_\varepsilon : |a_n - a | < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Verstehst du was dir diese Definition sagt?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_k = \underbrace{\sum_{k=1}^{n_\varepsilon} a_k}_{=:A} + \underbrace{\sum_{k=n_\varepsilon}^{n} a_k}_{=:B} \end{eqnarray*}$ (wählen natürlich $\begin{eqnarray*} n>n_\varepsilon \end{eqnarray*}$ )

was weißt du mittels der Definition des Grenzwertes über die jeweiligen Folgenglieder $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

Tipp: Suche nach möglichen Beschränkungen.

17.11.2013, 22:20

Lynn2

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Ja, die Definition verstehe ich! Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sind alle Folgenglieder, die außerhalb der Epsilon-Umgebung liegen, und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind alle Folgenglieder, die innerhalb der Epsilon-Umgebung liegen, dabei ist $\begin{eqnarray*} \varepsilon + a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon - a \end{eqnarray*}$ die Beschränkung.

Ich hoffe, dass es das ist, was du hören wolltest!

Liebe Grüße und bis morgen früh Wink

18.11.2013, 10:08

DerJFK

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Du hast wohl erfasst was ich meine, dann Argumentiere doch weiter.

Was willst du jetzt zeigen? Was ist dein Lösungsansatz?

18.11.2013, 10:19

Lynn2

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Im Prinzip will ich zeigen, dass meine Reihe sich dem Wert a annähert innerhalb der Epsilon-Umgebung. Also dass sich meine Reihe innerhalb der Grenzen bewegt.

18.11.2013, 10:39

DerJFK

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Und dein Lösungsansatz ist? Schreibe doch formal hin was du machen möchtest und was du schon weißt bzw. wie du dann die Behauptung folgern möchtest.

18.11.2013, 10:52

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} \forall n \ge n_\varepsilon : |a_n - a | < \varepsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |a_n - a | < \varepsilon \Rightarrow - \varepsilon < a_n-a < \varepsilon \Rightarrow a - \varepsilon < a_n < a + \varepsilon \end{eqnarray*}$

Hierbei bin ich davon ausgegangen, dass a der Grenzwert ist, wobei ich dies ja eigentlich herleiten soll.

18.11.2013, 10:59

DerJFK

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Das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ist, ist deine Voraussetzung. Somit musst du da nichts herleiten.

Du möchtest den Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} s_n = \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Du möchtest zeigen, dass du für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_\varepsilon \end{eqnarray*}$ findest mit:

$\begin{eqnarray*} \left| s_{n_{\varepsilon}} - a \right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Überlege jetzt bitte nochmal und suche eine Möglichkeit das zu folgern.

18.11.2013, 11:08

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} (\frac 1n \sum_{k=1}^n a_k) - a < \varepsilon \end{eqnarray*}$ Dies muss ich nun sicherlich anhand des Abschätzens lösen?

18.11.2013, 11:13

DerJFK

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Wo sind die betragsstriche? Dann schätze doch mal ab und präsentiere eine Lösung. Und versuche nicht jeden einzelnen Schritt hier raus zu leihern.

18.11.2013, 11:23

Lynn2

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Wenn ich das von ganz allein lösen könnte, wäre ich nicht hier.

Ich weiß leider nicht, wie ich mit der Summe umgehen soll.
$\begin{eqnarray*} | (\frac 1n \sum_{k=1}^n a_k) - a | < \varepsilon \end{eqnarray*}$
Ich dachte nun, dass ich a addieren kann, sodass ich $\begin{eqnarray*} | (\frac 1n \sum_{k=1}^n a_k) | < \varepsilon + a \end{eqnarray*}$ erhalte.
Nun weiß ich jedoch nicht, was ich mit der Summe machen soll! Dies ist ja auch mein Hauptproblem an dieser Aufgabe, wie ich bereits am Anfang preis gegeben habe.

18.11.2013, 11:38

DerJFK

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Ich habe auch nicht gesagt das gleich alles richtig sein muss. Aber du verwendest keine der Hinweise die ich dir gebe.

Was ist denn nun mit der splittung der Reihe die ich dir gezeigt habe. Setze die doch mal ein. Ebenfalls gilt ja.

$\begin{eqnarray*} \left| \sum_{k=n_{\varepsilon}}^n a_k \right| \le |n (a \pm \varepsilon) | \end{eqnarray*}$

Und was können wir mit der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n_{\varepsilon}} a_k \end{eqnarray*}$ dann machen. Bedenke das n epsilon ja eine feste Zahl ist.

18.11.2013, 11:40

Lynn2

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Andere Idee:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac 1n \sum_{k=1}^n (a_k-a) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty } \frac 1n (\sum_{k=1}^n (a_k) - a) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty } \frac 1n \sum_{k=1}^n (a_k) = a \end{eqnarray*}$

18.11.2013, 11:47

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} \left| \sum_{k=1}^ n a_k \right| < |n (a \pm \varepsilon) | \end{eqnarray*}$ Soweit hatte ich es auf meinem Lösungsblatt auch schon. Aber du setzt $\begin{eqnarray*} k = n_\varepsilon \end{eqnarray*}$ Warum? Die Splittung der Summe habe ich verstanden, aber warum setzt du die ohne die andere Summe ein?

18.11.2013, 11:48

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n_{\varepsilon}} a_k \end{eqnarray*}$ hat einen festen Grenzwert, da wie du sagtest es sich um eine feste Zahl handelt.

18.11.2013, 11:56

DerJFK

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Zitat:

Idee:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac 1n \sum_{k=1}^n (a_k-a) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty } \frac 1n (\sum_{k=1}^n (a_k) - a) \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty } \frac 1n \sum_{k=1}^n (a_k) = a \end{eqnarray*}$

Das zeigt ehrlich gesagt, überhaupt nichts.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left| \sum_{k=1}^ n a_k \right| < |n (a \pm \varepsilon) | \end{eqnarray*}$

Diese Ungleichung stimmt nicht. Denn die Folgeglieder bis zum $\begin{eqnarray*} n_\varepsilon \end{eqnarray*}$ Glied können bertragsmäßig viel größer als der Grenzwert sein

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n_{\varepsilon}} a_k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n_{\varepsilon}} a_k = M \end{eqnarray*}$ also eine feste Zahl, sozusagen eine konstante.

18.11.2013, 12:08

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} \left| \sum_{k=n_{\varepsilon}}^n a_k \right| \le |n (a \pm \varepsilon) | \end{eqnarray*}$ Soweit habe ich es verstanden. Doch was muss ich nun noch machen?

18.11.2013, 12:18

DerJFK

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$\begin{eqnarray*} \left| \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k \right| = \left| \frac Mn + \frac 1n \sum_{k=n_\varepsilon}^n a_k \right| \le \frac{|M|}n + \frac 1n |n(a \pm \varepsilon)| \le \frac{|M|}n + |a| + \varepsilon \le |a| + \varepsilon' \end{eqnarray*}$

Wobei n geeignet groß mit $\begin{eqnarray*} \frac{|M|}n \le \varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon' = 2 \varepsilon \end{eqnarray*}$ gewählt wird.

Jetzt versuche du mal die Abschätzung mit

$\begin{eqnarray*} \left| \frac 1n \sum_{k=1}^n a_k - a \right| \end{eqnarray*}$

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