Sei k ein geordneter Körper - Aufgabe (und ich weiß nicht was ich machen soll)

17.11.2013, 16:00	Hallagar	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei k ein geordneter Körper - Aufgabe (und ich weiß nicht was ich machen soll) Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ein geordneter Körper. b) Seien $\begin{eqnarray} 1 \leq l \leq n \end{eqnarray}$ natürliche Zahlen und $\begin{eqnarray} x_1,...,x_n \in k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_i \geq 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i = 1,...,n \end{eqnarray}$ . Für alle $\begin{eqnarray} 1\leq i_1 < i_2 < ... < i_l \leq n \end{eqnarray}$ gelte $\begin{eqnarray} x_{i1}x_{i2}...x_{il} \geq 1 \end{eqnarray}$ . Dann gilt auch $\begin{eqnarray} x_1x_2...x_n \geq 1 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich komme gar nicht bis zu einem Lösungsansatz, da ich daran scheitere die Aufgabenstellung zu verstehen. Als erstes werden mir $\begin{eqnarray} l,n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit der Bedingung dass l, n größer sind als 1 und dass n mindestens so groß ist wie l. Soweit so gut. Dann kommen die $\begin{eqnarray} x_1,...,x_n \in k \end{eqnarray}$ ins Spiel. Also die Zahl n-Elemente in k für die wir später zeigen sollen, dass $\begin{eqnarray} x_1x_2...x_n \geq 1 \end{eqnarray}$ . Vorher wird noch ein $\begin{eqnarray} x_i \geq 0 \end{eqnarray}$ Definiert und der Index i wiederum als $\begin{eqnarray} i = 1,...,n \end{eqnarray}$ , super. Aber bezieht sich diese Voraussetzung jetzt auf die schon gegebenen $\begin{eqnarray} x \in k \end{eqnarray}$ oder sollen das nochmal "neue" n-Elemente aus k sein? Da hakt es bei mir dann zum ersten mal. Denn wenn es jetzt weiter geht, dass $\begin{eqnarray} 1\leq i_1 < i_2 < ... < i_l \leq n \end{eqnarray}$ , dann heißt das ja, dass alle $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ mit steigendem Index auch selbst immer größer als ihr Vorgänger sind. Weiter heißt es dann dass gelten soll: $\begin{eqnarray} x_{i1}x_{i2}...x_{il} \geq 1 \end{eqnarray}$ Wenn jetzt ja die $\begin{eqnarray} x_i = x_n \end{eqnarray}$ von ganz am Anfang wären, dann müsste doch daraus direkt schon folgen, dass $\begin{eqnarray} x_1x_2...x_n \geq 1 \end{eqnarray}$ ist. Aber das kann ja irgendwie nicht sein, daher gehe ich davon aus, dass die $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ und die $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray*}$ vollkommen verschieden sind. DAnn stehe ich aber vor der Frage, wie ich darauf kommen soll. Ich hoffe ihr könnt meine Verwirrung nachvollziehen und hoffe, dass ihr meinen "Ansatz" überhaupt nachvollziehen konntet. Ich wäre einfach sehr dankbar über eine kleine Hilfe, denn alleine blicke ich durch die ganzen Indizes und variablen nicht mehr durch. :/ Liebe Grüße, Hallagar.
17.11.2013, 16:27	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sei k ein geordneter Körper - Aufgabe (und ich weiß nicht was ich machen soll) hallo, dann will ich mal mit eigenen worten beschreiben, was hier zu beweisen ist: Man soll hier zeigen, dass wenn man von dem produkt x_1x_2...*x_n einige faktoren weglässt und das produkt dann trotzdem immer >=1 ist, dass dann auch das vollständige produkt >=1 sein muss. gruss ollie3
17.11.2013, 16:58	Hallagar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sei k ein geordneter Körper - Aufgabe (und ich weiß nicht was ich machen soll) Okay. Also ist das doch so einfach, wie ich eigentlich dachte. Kann ich dass nicht über 'nen Widerspruchsbeweis machen? Denn wenn ein Produkt von Faktoren $\begin{eqnarray} >= 1 \end{eqnarray}$ sein soll, dann muss ja mindestens ein Faktor $\begin{eqnarray} >1 \end{eqnarray}$ sein (bzw. noch größer), damit Überhaupt ein Produkt mit $\begin{eqnarray} >= 0 \end{eqnarray}$ herauskommt (ich hoffe es ist klar was ich meine^^). Folglich könnte ich annehmen, dass das Produkt von $\begin{eqnarray} x_1...x_n <1 \end{eqnarray}$ wird. Da ich $\begin{eqnarray} x_1...x_l \end{eqnarray}$ ja schon als $\begin{eqnarray} >= 1 \end{eqnarray}$ definiert habe kann ich auch einfach schreiben: $\begin{eqnarray} 1x_{l+1}...x_n < 1 \end{eqnarray}$ also muss auch $\begin{eqnarray} x_{l+1}...x_n < 1 \end{eqnarray}$ sein. Da aber mindestens $\begin{eqnarray} x_l \end{eqnarray}$ ja schon $\begin{eqnarray} >= 1 \end{eqnarray}$ sein musste, damit das Produkt überhaupt $\begin{eqnarray} >= 1 \end{eqnarray}$ wird, kann x_n nicht kleiner als 1 sein. Da habe ich meinen Widerspruch, also ist meine Annahme falsch. Ist das richtig so?

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