injektive Immersion und Untermannigfaltigkeit

17.11.2013, 18:38	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
injektive Immersion und Untermannigfaltigkeit Meine Frage: Zeige, dass $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 \quad t \mapsto \begin{pmatrix} \frac{t}{1+t^4} \\ \frac{t^3}{1+t^4} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine injektive Immersion ist. Ist $\begin{eqnarray} f(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ eine Untemanigfaltigkeit des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: (1.) Da betrachte ich den Rang der Jakobi-Matrix von f: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{1-3t^4}{(1+t^4)^2} \\ \frac{3t^2-t^6}{(1+t^4)^2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dabei ist der Rang gleich 1 solange dies gerade nicht den Nullvektor ergibt. Also nicht $\begin{eqnarray} 1-3t^4=0 \; \land \; 3t^2-t^6=0 \end{eqnarray}$ . Wenn ich mir die Lösungsmenge anschauen folgt, dass der Rang gleich 1 also f eine Immersion ist. (2.) Es ist $\begin{eqnarray} \lim_{t \to \infty} f(t) = 0 \end{eqnarray}$ also der Nullvektor und daher ist $\begin{eqnarray} f(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ keine Untermannigfaltigkeit Wie ist dass nun mit der Injektivität von f?? (auch $\begin{eqnarray} f(0)=0 \end{eqnarray}$ )

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »