Doppelreihe berechnen

17.11.2013, 19:44

Knanu

Doppelreihe berechnen

Meine Frage:
Wir sollen den Wert folgender Reihe berechnen, leider habe ich keine Ahnung wie das geht.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i,j=1}^\infty \frac{1}{(i+j)(i+j-1)^2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Habe gedacht, dass mit vll die diagonale Summation weiter hilft. Leider finde ich dazu nichts im Skript und bin überfragt.

17.11.2013, 20:42

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Summand dieser Reihe hängt nur von der Summe $\begin{eqnarray*} i+j \end{eqnarray*}$ der Indizes, ansonsten aber nicht von den konkreten Einzelwerten $\begin{eqnarray*} i,j \end{eqnarray*}$ ab. Also kann man umformen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i,j=1}^{\infty} \frac{1}{(i+j)(i+j-1)^2} = \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{n_k}{k(k-1)^2} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} n_k = \left| \left\{ (i,j) \in \mathbb{N}^2 \bigm| i+j=k \right\} \right| \end{eqnarray*}$ (die natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ hier ohne Null).

Einfach mal in Ruhe überlegen, wie groß diese Anzahl $\begin{eqnarray*} n_k \end{eqnarray*}$ eigentlich ist. smile

17.11.2013, 20:55

Knanu

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe ich liege nicht falsch, aber mein $\begin{eqnarray*} n_k \end{eqnarray*}$ ist doch abzählbar unendlich

17.11.2013, 21:23

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst, es gibt abzählbar unendlich viele Paare $\begin{eqnarray*} (i,j) \end{eqnarray*}$ natürlicher Zahlen mit fester Summe $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ? geschockt

17.11.2013, 21:27

Knanu

Auf diesen Beitrag antworten »

Dank für deine Geduld. Habe übersehen, dass k fest ist Hammer

Also dann gehts ja nur, wenn i=1 und j=1

17.11.2013, 21:50

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Knanu
Also dann gehts ja nur, wenn i=1 und j=1

Was $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ betrifft, ja, es ist also $\begin{eqnarray*} n_2=1 \end{eqnarray*}$ .

Ich hatte jedoch angenommen, dass du nun zügig zum allgemeinen $\begin{eqnarray*} n_k \end{eqnarray*}$ übergehst und die Reihe somit endgültig knackst.

17.11.2013, 22:12

Knanu

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich das auch so schreiben: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i,j=1}^{\infty} \frac{1}{(i+j)(i+j-1)^2} = \sum\limits_{i,j=1}^{\infty} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k(k-1)^2} \end{eqnarray*}$

17.11.2013, 22:15

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das kannst du natürlich nicht so schreiben!!! unglücklich

17.11.2013, 22:40

Knanu

Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Anzahl der $\begin{eqnarray*} n_k \end{eqnarray*}$ ist k-1. Also gilt doch

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i,j=1}^{\infty} \frac{1}{(i+j)(i+j-1)^2} = \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{n_k}{k(k-1)^2}=\sum\limits_{k=2}^\infty \frac{k-1}{k(k-1)^2} = \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{k(k-1)} \end{eqnarray*}$

17.11.2013, 22:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, na endlich. Und diese letzte Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k(k-1)} \end{eqnarray*}$ ist eigentlich hinlänglich bekannt (Partialbruchzerlegung/Teleskopreihe).

18.11.2013, 15:55

Knanu

Auf diesen Beitrag antworten »

Super vielen Dank

Neue Frage »

Antworten »

Doppelreihe berechnen

Verwandte Themen