Maximum, Minimum

17.11.2013, 20:38

Kegorus

Maximum, Minimum

Meine Frage:
Auf dem abgeschlossenen Einheitskreis soll man Maximum und Minimum von
f(x,y)=4x²-3xy
mithilfe vom Lagrange Multiplikator berechnen.
Das habe ich geschafft, aber:

Meine Ideen:
Die Nebenbedingung ist also x²+y² kleiner gleich 1.
Meine Frage ist nun: Wie sieht man, dass f auf dem Inneren des Kreises kein Maximum oder Minimum annehmen kann? (Und man daher als NB einfach x²+y²=1 verwenden kann.)

18.11.2013, 09:25

Christian_P

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Hi

meiner Ansicht nach ist die Aufgabenstellung unglücklich ausgedrückt.

abgeschlossener Einheitskreis ?

Der Einheitskreis ist ja gerade die Punktmenge, die vom Ursprung den Abstand 1 hat.
Da ist nix mit abgeschlossen. smile

Man sucht das Maximum von $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ , das auf dem Kreis liegt

bzw. genau den Abstand 1 zum Ursprung hat

also $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 = 1^2 \end{eqnarray*}$

Gruß

18.11.2013, 11:44

Kegorus

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Danke für deine Antwort, bin ganz deiner Meinung..
Wenn die Angabe nun wäre: NB: x²+y²kleiner gleich 1, ließe es sich irgendwie überprüfen, dass für x²+y² kleiner 1 kein Max/Min gibt, ich weiß aber nicht wie..

18.11.2013, 12:40

Leopold

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Zitat:

Original von Christian_P
meiner Ansicht nach ist die Aufgabenstellung unglücklich ausgedrückt.

abgeschlossener Einheitskreis ?

Der Einheitskreis ist ja gerade die Punktmenge, die vom Ursprung den Abstand 1 hat.
Da ist nix mit abgeschlossen. smile

Mit dem abgeschlossenen Einheitskreis ist die durch Hinzufügung des Randes zum Abschluß gebrachte offene Einheitskreisscheibe gemeint. Das ist eine gängige Ausdrucksweise. Es sind also die Extremwerte von

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = 4x^2 - 3xy \ \ \mbox{für} \ \ x^2 + y^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$

zu bestimmen.

1. Da die Definitionsmenge kompakt ist, nimmt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf ihr sowohl das Maximum als auch das Minimum an.

2. Ein Extremum im Innern, also für $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 < 1 \end{eqnarray*}$ wäre zugleich ein lokales Extremum. Man kann zeigen, daß es ein solches nicht gibt.

3. Somit müssen Minimum und Maximum auf dem Rand $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ angenommen werden. Er jetzt ist in der Argumentation diese zusätzliche Annahme gerechtfertigt.

Um 2. zu zeigen, bestimmt man mit Hilfe der partiellen Ableitungen zunächst die einzige Stelle, die für ein lokales Extremum in Frage kommt. Man findet $\begin{eqnarray*} x=0,y=0 \end{eqnarray*}$ heraus. Man kann jetzt in $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ speziell $\begin{eqnarray*} x=t,y=t \end{eqnarray*}$ und speziell $\begin{eqnarray*} x=t,y=2t \end{eqnarray*}$ einsetzen und erkennt mit $\begin{eqnarray*} t \to 0 \end{eqnarray*}$ , daß beliebige nahe bei $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ Werte oberhalb und unterhalb von $\begin{eqnarray*} f(0,0) \end{eqnarray*}$ angenommen werden.

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