Lokale Extrema (mehrdimensional)

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17.11.2013, 21:28	Lomex	Auf diesen Beitrag antworten »
Lokale Extrema (mehrdimensional) Meine Frage: hallo Leute, hier habe ich eine Aufgabe, bei der ich total auf dem Schlauch stehe. Es geht um die lokalen Extrema einer mehrdimensionalen Funktion Meine Ideen: ich habe zuerst die erste Ableitung bzw. den Gradienten ausgerechnet: grad f(x,y)=(2x-2y,2y,2x) nun versuchte ich die kritischen Punkte zu ermitteln: 2x-2y=0 2y-2x=0 Ich komme zu dem Ergebnis, dass für die Nullstellen x=y sein muss. Aber wie finde ich nun die kritischen Punkte? Ich habe die Hessematrix (also die zweite Ableitung) ausgerechnet, um die Art des Extremums festzustellen. (2,-2,-2,2) (dabei (A,B,C,D)). Dabei kam für die Determinante=0 heraus, was ja bedeutet, das sie semidefinit ist. Da ja det (A)=2 ist(also 2x Ableiten der Funktion nach x), und dies >0 ist, weiß ich auch, dass es positiv semidefinit ist. Aber was sagt mir das nun? Handelt es sich dann um ein lokales Minimum? Und was für lokale Extrema gibt es denn nun hier in diesem speziellen Fall? Ich komme hier leider gar nicht weiter... Würde mich sehr freuen, wenn mir hier jemand Klarheit verschaffen könnte.
17.11.2013, 23:50	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht hilft Dir die Darstellung $\begin{eqnarray} f(x,y)=(x-y)^2+1 \end{eqnarray}$ , um die Funktion besser zu verstehen.
18.11.2013, 14:26	Lomex	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Sie hilft mir leider nur insofern weiter, als das ich nun weiß, dass es sich um eine nach oben geöffnete Parabel handelt. Bedeutet doch, dass sie ein Minimum haben müsste, oder? Aber wie rechne ich dieses Minimum nun aus? Liege ich mit dieser Vermutung überhaupt richtig?
18.11.2013, 18:08	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist offensichtlich $\begin{eqnarray} f(x,x)=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x,y)>1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\neq y \end{eqnarray}$ Nun überleg Dir, wie lokale Minima definiert sind.
18.11.2013, 21:14	Lomex	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, wenn ich mich so blöd anstelle, aber ich stehe immer noch auf dem Schlauch. Ich hätte jetzt mit gesundem Menschenverstand gesagt, dass das lokale Minimum genau dort ist, wo x=y ist (dann wird die zweite Ableitung=0), also ein Intervall? Überall dort, wo x ungleich y ist, können keine Extrem vorliegen. Aber dann bin ich wieder genauso weit wie vorher. Das ist irgendwie alles so ne Larifari-Formulierung und ich bin mir sicher, dass noch mehr dazu gehört. Wie kann ich das mathematisch formulieren? Ich weiß echt nicht mehr, was ich sonst noch machen kann. Ist denn das, was ich bisher gemacht habe, überhaupt richtig?
18.11.2013, 21:59	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Überlegungen sind zwar prinzipiell richtig, nur lässt sich bei Semidefiniter Hessematrix keine Aussage treffen. Mit der Darstellung als Quadrat kommst Du aber zum Ziel. Lokale Minima sind Stellen in deren Umgebung es keine kleineren Funktionswerte gibt und das ist hier der Fall.
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18.11.2013, 22:40	Lomex	Auf diesen Beitrag antworten »
achso. ich glaube ich verstehe langsam, was du meinst. Aber war`s das dann? kann ich dann folgendermaßen vorgehen: ich schreibe alles so hin, wie ich es ganz am Anfang hatte, bis zu dem Punkt, wo ich feststelle, dass die Funktion semidefinit ist. dann sag ich, dass daraus keine Schlüsse bezüglich Extrema gezogen werden können. Wenn man jedoch die Funktion als Quadrat darstellt: (x-y)^2+1 kommt man zu folgendem Ergebnis: f(x,y)=1 für x=y f(x,y)>1 für x ungleich y Demzufolge muss es sich um ein lokales Minimum handeln, da das lokale Minimum derart charakterisiert ist, dass in der Umgebung der Minimalstelle keine kleineren Funktionswerte existieren. Dies ist in dieser Funktion der Fall, wenn x=y ist. Überall dort, wo x ungleich y ist, nimm die Funktion größere Werte an. reicht das als Begründung? Vor allem: reicht das als Begründung dafür, dass es sich um ein lokales Minimum handelt? Darf ich hier vielleicht auch mit der positiven Semidefinitheit argumentieren? Weil ich dachte eigentlich, dass es umgekehrt ist. Also das ein lokales Minimum positive Semidefinitheit impliziert und nicht umgekehrt. Da ich jedoch die Hesse-Matrix ausgerechnet habe und daher weiß, dass die Funktion semidefinit ist, frage ich mich, ob ich das einfach so als Grund für ein lokales Minimum angeben darf und dann mit der quadratischen Darstellung zeige, dass es tatsächlich so ist.
18.11.2013, 23:45	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch einmal: positive Semidefinitheit sagt nichts über eine kritische Stelle aus. Ein Beispiel dazu kann ich Dir leider erst morgen geben, weil ich langsam ins Bett muss. Die Begründung für das lokale Minimum ist fast richtig. Du hast dabei aber nicht bedacht, dass es in jeder Umgebung auch Punkte gibt, die denselben Funktionswert annehmen.
19.11.2013, 13:29	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier noch das versprochene Beispiel: $\begin{eqnarray} f(x,y)=x²+y³ \end{eqnarray}$ besitzt bei (0/0) einen kritischen Punkt mit positiv semidefiniter Hessematrix. Wegen $\begin{eqnarray} f(0,y)=y^3 \end{eqnarray}$ handelt es sich aber garantiert nicht um ein Minimum.
19.11.2013, 18:17	Lomex	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry für die späte Antwort. Hatte bis eben Uni. Vielen Dank für das Beispiel. Also das mit der Semidefinitheit habe ich verstanden. Aber das mit dem lokalen Minimum verstehe ich immer noch nicht ganz. Ich stelle mich gerade wirklich blöd an, Kurvendiskussion und die ganze Geschichte mit Extrema ist bei mir schon echt lange her. Ich weiß jetzt nicht, welche Punkte noch denselben Funktionswert annehmen könnten außer im Fall, dass x=y ist. Dann nimmt er den Wert 1 an. In allen anderen Fällen >1. Oder ich verstehe gerade nicht, was du meinst. Bin etwas frustriert im Moment, weil ich doch eigentlich darauf kommen müsste...
19.11.2013, 23:36	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja von einem Extrem spricht man normalerweise nur wenn ein Punkt vorliegt, also (x,x). In dessen Umgebung (Die im zweidimensionalen ja kreisförmig ist) gibt es aber unendlich viele weitere Punkte, nämlich $\begin{eqnarray} (x\pm\epsilon,x\pm\epsilon) \end{eqnarray}$ , die ebenfalls den Wert 1 haben. Hier kommt es also auf eure Definition an, ob es sich um ein Extrem handelt oder nicht. Ich habe im Internet zumindest zwei Formulierungen gefunden. In der einen ist von "keinen kleineren Funktionswert" die Rede, in der anderen von "nur größere Funktionswerte". Im ersten Fall hätten wir es mit einem lokalen Extrem zu tun, im zweiten Fall nicht.

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