Funktion skizzieren und Aussage über Konvergenz

17.11.2013, 22:05	Eyelow	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion skizzieren und Aussage über Konvergenz Hallo, kann mir jemand verraten, wie man folgende Funktion skizzieren soll? $\begin{eqnarray} f: R \Rightarrow R, f(x)= inf\left\{ \| x-p \| p\in Z \right\} \end{eqnarray}$ Außerdem soll man noch beantworten: a) Gibt es eine Nullfolge $\begin{eqnarray} \left(x_{n} \right) n\in \mathbb N, x_{n} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} f\left(x_{n} \right) \end{eqnarray}$ nicht konvergiert? Allgemein: Ich kann nicht mal im Vorlesungsstoff nachschlagen. Daher habe ich keine Idee, wie f(x) überhaupt aussehen könnte. Zu a): Wie soll man das deuten? Eine Folge finden und die dann in die Funktion einsetzen und dann schauen, ob der Funktionswert der Folge konvergiert oder nicht? Dafür müsste ich ja auch wissen wie die erstmal aussieht diese Funktion. Für Denkanstöße wäre ich sehr dankbar.
17.11.2013, 22:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das soll wohl so heißen: $\begin{eqnarray} f(x) = \inf \left\{ \, \|x-p\| \, \left\| \, p \in \mathbb{Z} \, \right. \right\} \end{eqnarray}$ Wenn man hier $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} x+1 \end{eqnarray}$ ersetzt, dann bilden die $\begin{eqnarray} \left\| (x+1)-p \right\| = \left\| x - (p-1) \right\| \end{eqnarray}$ dieselbe Zahlenmenge wie die $\begin{eqnarray} \|x-p\| \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ die ganzen Zahlen durchläuft. Beim Übergang zum Infimum erhält man folglich denselben Wert. Somit erfüllt $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ die Funktionalgleichung $\begin{eqnarray} f(x+1) = f(x) \end{eqnarray}$ Man könnte es auch so sagen: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist periodisch mit der Periode $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ . Jetzt mußt du nur noch wissen, wie $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ im Intervall $\begin{eqnarray} [0,1) \end{eqnarray}$ aussieht. Setze einfach einmal ein paar verschiedene $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Werte ein. Was ist zum Beispiel $\begin{eqnarray} f(0{,}2) \end{eqnarray}$ ?
17.11.2013, 23:27	Eyelow	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja du hast Recht, habe nicht gemerkt, dass da etwas fehlt. So wie bei dir muss die Vorschrift aussehen. Stichwort ist also "periodische Funktion". War ja klar, noch nie in der Vorlesung behandelt. Was denken sich manche Profs? Jedenfalls: Google lieferte, dass das ne Art zickzack Graph ist, richtig? Ich verstehe dennoch nicht ganz, wo ich irgendwelche x-Werte einsetzen soll. Etwa in die Form \|(x + 1) - p \| ? Wenn ja, mich stört das "p" was übrig bleibt. Danke für deine bisherige Hilfe.
17.11.2013, 23:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(0{,}2) = \inf \left\{ \ \ldots \ , \ \|0{,}2-(-3)\| \ , \ \|0{,}2-(-2)\| \ , \ \|0{,}2-(-1)\| \ , \ \|0{,}2-0\| \ , \ \|0{,}2-1\| \ , \ \|0{,}2-2\| \ , \ \|0{,}2-3\| \ , \ \ldots \ \right\} \end{eqnarray}$ Jetzt bestimme den kleinsten Wert der Menge. Das ist $\begin{eqnarray} f(0{,}2) \end{eqnarray}$ .
18.11.2013, 17:30	Eyelow	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch den Betrag werden alle negativen Terme positiv. Daher müsste \|0,2 - 0\| = 0,2 der kleinste Term sein. Richtig oder habe ich was verpasst?
18.11.2013, 17:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig. Und so kannst du auch für andere $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ den Funktionswert berechnen. Wie wäre es mit $\begin{eqnarray} f(0{,}4), f(0{,}6), f(0{,}8) \end{eqnarray}$ ? Statt zu rechnen kann man natürlich auch nachdenken. Für zwei reelle Zahlen $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ kann man ja interpretieren: $\begin{eqnarray} \|a-b\| = \text{Abstand von} \ a \ \text{und} \ b \ \text{auf dem Zahlenstrahl} \end{eqnarray}$ Daher berechnet $\begin{eqnarray} \|x-p\| \end{eqnarray}$ den Abstand der reellen Zahl $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ von der ganzen Zahl $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . Und da wir eine Menge haben, bei der $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ alle ganzen Zahlen durchläuft, bekommen wir alle Abstände von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ zu den ganzen Zahlen. Und in dieser Menge suchen wir den kleinsten Wert, also den Abstand zur nächstgelegenen ganzen Zahl: $\begin{eqnarray} f(x) = \text{Abstand von} \ x \ \text{zur nächstgelegenen ganzen Zahl} \end{eqnarray}$ Und auf einmal verliert die Funktion ihren Schrecken.
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18.11.2013, 18:47	Eyelow	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön. Habe jetzt verstanden, wie ich die Funktion sowohl analytisch als auch graphisch darstellen kann. Danke erstmal dafür. Jetzt muss ich probieren, ob ich die Frage aus a) beantworten kann (siehe ersten Post). Evtl. muss ich hier nach weiteren Denkansätzen fragen.
20.11.2013, 20:34	Eyelow	Auf diesen Beitrag antworten »
So, also nach dem wir in unserer Lerngruppe auch nicht weitergekommen sind, muss ich hier fragen. Wie funktioniert nun der Teil: a) Gibt es eine Nullfolge $\begin{eqnarray} \left(x_{n} \right) n\in \mathbb N, x_{n} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} f\left(x_{n} \right) \end{eqnarray}$ nicht konvergiert? Ich denke unser Problem ist die Notation. Wir sollen eine Nullfolge finden, sodass f(Nullfolge xn) nicht konvergiert? irgendeine Nullfolge finden ist ja nicht schwer. Wenn ich nun z.B. $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \frac{-1}{n} \end{eqnarray}$ als Nullfolgen nehme, wie sollte ich weiterverfahren?

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