Beweis für Gruppentheorem in endlichen Gruppen(Ex. k für jedes a sodass a^k=n) |
18.11.2013, 02:16 | Handy4 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Beweis für Gruppentheorem in endlichen Gruppen(Ex. k für jedes a sodass a^k=n) Hallo. Ich möchte folgende Aussage beweisen: Sei (G,*) eine Gruppe mit neutralem Element n. Zeigen Sie: Ist G endlich, so gibt es für jedes g aus G ein k aus N (ohne 0) mit g*g*...*g(k-mal)=n Ich kenne den Begriff der Ordnung einer Gruppe noch nicht und habe nur die Grundlegenden Gruppenaxiome zur Verfügung. Meine Ideen: Ich habe bereits versucht mit den Axiomen der Assoziativität, des neutralen Elements und des inversen Elements zu arbeiten, finde aber einfach keinen Ansatz mit dem ich das Ganze beginnen kann. |
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18.11.2013, 06:46 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wende auf die Menge der mit das Schubfachprinzip an. |
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18.11.2013, 14:01 | Handy4 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für den Hinweis. Mir ist jetzt klar, dass die Menge der k unendlich ist, die Anzahl der "Schubfächer" aber nur endlich, also muss es mindestens ein "Schubfach" geben, in dem mehr als ein g^k landet. Wie komme ich auf der Grundlage aber nun darauf, dass alle irgendwann bei n landen können? Das will mir nicht so ganz einleuchten. |
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18.11.2013, 14:21 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es muß also natürliche Zahlen geben mit Jetzt ist es nur noch ein kleiner Schritt zum Ergebnis. Schließlich besitzt ein Inverses. |
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18.11.2013, 16:16 | Handy4 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Habe jetzt auf beiden seiten j Inverse ergänzt und folgendermaßen argumentiert: Zwischendurch habe ich noch mittels der Axiome gezeigt wieso ich die Terme so "kürzen" darf, das spare ich mir jetzt hier aber mal. Ist das so in Ordnung? |
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18.11.2013, 17:22 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist so in Ordnung. Nur weiß ich nicht, warum du das neutrale Element gegen alle Konvention statt oder nennst. Aber die Geschmäcker sind bekanntlich verschieden ... |
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18.11.2013, 19:42 | Handy4 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das hat mein Prof in der Vorlesung so eingeführt. Hat mich auch etwas verwirrt. Naja auf jeden Fall bedanke ich mich vielmals für die Hilfe! |
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