Beweis für Gruppentheorem in endlichen Gruppen(Ex. k für jedes a sodass a^k=n)

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Handy4 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für Gruppentheorem in endlichen Gruppen(Ex. k für jedes a sodass a^k=n)
Meine Frage:
Hallo.
Ich möchte folgende Aussage beweisen:
Sei (G,*) eine Gruppe mit neutralem Element n. Zeigen Sie:
Ist G endlich, so gibt es für jedes g aus G ein k aus N (ohne 0) mit g*g*...*g(k-mal)=n
Ich kenne den Begriff der Ordnung einer Gruppe noch nicht und habe nur die Grundlegenden Gruppenaxiome zur Verfügung.

Meine Ideen:
Ich habe bereits versucht mit den Axiomen der Assoziativität, des neutralen Elements und des inversen Elements zu arbeiten, finde aber einfach keinen Ansatz mit dem ich das Ganze beginnen kann.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wende auf die Menge der mit das Schubfachprinzip an.
Handy4 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis. Mir ist jetzt klar, dass die Menge der k unendlich ist, die Anzahl der "Schubfächer" aber nur endlich, also muss es mindestens ein "Schubfach" geben, in dem mehr als ein g^k landet. Wie komme ich auf der Grundlage aber nun darauf, dass alle irgendwann bei n landen können? Das will mir nicht so ganz einleuchten.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es muß also natürliche Zahlen geben mit



Jetzt ist es nur noch ein kleiner Schritt zum Ergebnis. Schließlich besitzt ein Inverses.
Handy4 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe jetzt auf beiden seiten j Inverse ergänzt und folgendermaßen argumentiert:



Zwischendurch habe ich noch mittels der Axiome gezeigt wieso ich die Terme so "kürzen" darf, das spare ich mir jetzt hier aber mal. Ist das so in Ordnung?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist so in Ordnung. Nur weiß ich nicht, warum du das neutrale Element gegen alle Konvention statt oder nennst. Aber die Geschmäcker sind bekanntlich verschieden ...
 
 
Handy4 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat mein Prof in der Vorlesung so eingeführt. Hat mich auch etwas verwirrt.

Naja auf jeden Fall bedanke ich mich vielmals für die Hilfe! Big Laugh
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