Nullstellen, Faktorisieren von Polynomen

18.11.2013, 11:42

Duinne

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Nullstellen, Faktorisieren von Polynomen

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe hier eine Aufgabe zu Nullstellen und Faktorisierung der Polynome:

a) Bestimmen der (u.U. komplexen) Nullstellen und Faktorisierung der Polynome:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{4}-3x^{3}-4x^{2}+12x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=x^{3}+64 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x)=x^{3}+4x^{2}+16x+64 \end{eqnarray*}$

Geben Sie die ganzrationale Funktion k(x) an, die die einfachen Nullstellen 2 und 3 sowie die doppelte Nullstelle 0 besitzt und an der Stelle 1 den Funktionswert 14 annimmt.

b) Bestimmen Sie den natürlichen Definitions- und Wertebereich der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x+2}{x^{2}+3x+2 } \end{eqnarray*}$
grobe Skizze des Graphen

Meine Ideen:
zu a) Für die erste Gleichung f(x) habe ich mittels Polynomdivision (durch Probieren Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_{1}=-2 \end{eqnarray*}$ ) folgendes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x-2)(x^{3}-x^{2}-6x) \end{eqnarray*}$

Über das Ausklammern des x der kubischen Gleichung habe ich die Nullstellen $\begin{eqnarray*} x_{2}=3,x_{1}=-2 \end{eqnarray*}$ . Das ausgeklammerte x hat die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_{3}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x-2) \Rightarrow x_{4}=2 \end{eqnarray*}$ .

Komplett zerlegt komme ich auf dieses Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} f(x)=-x(x-2)(x+3)(x+2) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

Bei den anderen Gleichungen komme ich nciht zurecht.
Wie geht man mit $\begin{eqnarray*} g(x)=x^{3}+64 \end{eqnarray*}$ um? Ich bin der Meinung, dass bei $\begin{eqnarray*} x=-4 \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle ist, da $\begin{eqnarray*} (-4)^{3} +64=0 \end{eqnarray*}$
Aber ist das die einzige Nullstelle?

Bei h(x) bin ich durch das abolute Glied irritiert.

Kann mir hierbei jemand helfen?

Danke und Gruß
Duinne

18.11.2013, 11:53

klarsoweit

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RE: Nullstellen, Faktorisieren von Polynomen

Zitat:

Original von Duinne
zu a) Für die erste Gleichung f(x) habe ich mittels Polynomdivision (durch Probieren Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_{1}=-2 \end{eqnarray*}$ ) folgendes Ergebnis:

Vermutlich meinst du x_1 = 2. Wobei dann aber auch nicht der weitere Text paßt.

Zitat:

Original von Duinne
Wie geht man mit $\begin{eqnarray*} g(x)=x^{3}+64 \end{eqnarray*}$ um? Ich bin der Meinung, dass bei $\begin{eqnarray*} x=-4 \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle ist, da $\begin{eqnarray*} (-4)^{3} +64=0 \end{eqnarray*}$
Aber ist das die einzige Nullstelle?

Nun ja, die einzige reelle Nullstelle. Mach mal eine Polynomdivision durch (x+4). dann kannst du noch komplexe Nullstellen aufstöbern.

Zitat:

Original von Duinne
Bei h(x) bin ich durch das abolute Glied irritiert.

Wieso? Hier hilft wieder eine Nullstelle raten. smile

smile

18.11.2013, 14:52

Duinne

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RE: Nullstellen, Faktorisieren von Polynomen
Vielen Dank für deine Antwort!

a) Ich meinte tatsächlich $\begin{eqnarray*} x_{1}=-2 \end{eqnarray*}$
Wobei ich dann allerdings mit $\begin{eqnarray*} x_{1}=2 \end{eqnarray*}$ die Polynomdivision gemacht habe. In diesem Fall dürfte es aber nicht schlimm sein, da 2 auch eine Nullstelle ist, oder?

b) Hier komme ich mit (x+4) auf Folgendes:

$\begin{eqnarray*} (x^{3}+64)<img src="images2/smilies/frown2.gif" border="0" alt="unglücklich" title="unglücklich" /> x+4)=x^{2}+4x+16 \end{eqnarray*}$

Allerdings ist mir das mit den komplexen Nullstellen nicht ganz klar. Was mache ich jetzt damit, um auf komplexe Nullstellen zu kommen?

c) $\begin{eqnarray*} h(x) =(x^{3}+4x^{2}+16x+64)<img src="images2/smilies/frown2.gif" border="0" alt="unglücklich" title="unglücklich" /> x+4)=x^{2}-16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4^{2}-16=0 \end{eqnarray*}$
Daswäre also eine Nullstelle. Wenn ich mir den Graphen anschaue, ist 4 keine Nullstelle, lediglich -4.

Gruß
Duinne

18.11.2013, 15:00

Duinne

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RE: Nullstellen, Faktorisieren von Polynomen
Sorry! Doppelpunkte sind wohl nicht erlaubt.

b) Hier komme ich mit (x+4) auf Folgendes:

$\begin{eqnarray*} (x^{3}+64)/(x+4)=x^{2}+4x+16 \end{eqnarray*}$

Allerdings ist mir das mit den komplexen Nullstellen nicht ganz klar. Was mache ich jetzt damit, um auf komplexe Nullstellen zu kommen?

c) $\begin{eqnarray*} (x^{3}+4x^{2}+16x+64)/(x+4)=x^{2}-16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4^{2}-16=0 \end{eqnarray*}$
Daswäre also eine Nullstelle. Wenn ich mir den Graphen anschaue, ist 4 keine Nullstelle, lediglich -4.

Gruß
Duinne

18.11.2013, 15:11

klarsoweit

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RE: Nullstellen, Faktorisieren von Polynomen

Zitat:

Original von Duinne
Sorry! Doppelpunkte sind wohl nicht erlaubt.

Doppelpunkt mit einer folgenden Klammer geht nicht. Das ergibt unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Duinne
b) Hier komme ich mit (x+4) auf Folgendes:

$\begin{eqnarray*} (x^{3}+64)/(x+4)=x^{2}+4x+16 \end{eqnarray*}$

Wie man leicht nachrechnet, ist $\begin{eqnarray*} (x^3+64) \neq (x+4) \cdot (x^2+4x+16) \end{eqnarray*}$ . Also stimmt da was nicht.

Zitat:

Original von Duinne
Allerdings ist mir das mit den komplexen Nullstellen nicht ganz klar. Was mache ich jetzt damit, um auf komplexe Nullstellen zu kommen?

pq-Formel, quadratische Ergänzung, was du magst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Duinne
c) $\begin{eqnarray*} (x^{3}+4x^{2}+16x+64)/(x+4)=x^{2}-16 \end{eqnarray*}$

Wie man leicht nachrechnet, ist $\begin{eqnarray*} (x^3+4x^2+16x+64) \neq (x+4) \cdot( x^2-16) \end{eqnarray*}$ . Also stimmt da was nicht.

18.11.2013, 15:39

Duinne

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RE: Nullstellen, Faktorisieren von Polynomen
b) Ich glaube, es muss so sein

$\begin{eqnarray*} g(x)=(x+4)\cdot f^{*}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{*}(x)=(x^{3}+64)/(x+4)=x^{2}+4x+16 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x^{2}+4x+16 \end{eqnarray*}$ komme ich mit der pq-Formel auf kein Ergebnis. Das sind dann wohl meine komplexen Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} x_{2,3}=-\frac{4}{3}\pm j\cdot \sqrt{12} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} (x^{3}+4x^{2}+16x+64)/(x+4)=x^{2}+16 \end{eqnarray*}$
Vorzeichenfehler.

Aber dann?

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18.11.2013, 15:50

klarsoweit

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RE: Nullstellen, Faktorisieren von Polynomen

Zitat:

Original von Duinne
$\begin{eqnarray*} f^{*}(x)=(x^{3}+64)/(x+4)=x^{2}+4x+16 \end{eqnarray*}$

Ich hatte doch schon gesagt, daß das falsch ist. Die Wiederholung macht es nicht besser.

Zitat:

Original von Duinne
c) $\begin{eqnarray*} (x^{3}+4x^{2}+16x+64)/(x+4)=x^{2}+16 \end{eqnarray*}$
Vorzeichenfehler.

Aber dann?

Auch hier kann man von dem Restpolynom komplexe Nullstellen bestimmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.11.2013, 16:33

Duinne

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RE: Nullstellen, Faktorisieren von Polynomen
b)
$\begin{eqnarray*} f^{*}(x)=(x^{3}+64)/(x+4)=x^{2}-4x+16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3}=\frac{4}{3}\pm j\cdot \sqrt{12} \end{eqnarray*}$ [/latex]

c)
$\begin{eqnarray*} x_{2,3}=\pm j\cdot \sqrt{16} \end{eqnarray*}$ [/latex]

Stimmt soweit?

18.11.2013, 16:53

HAL 9000

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Damit das nicht untergeht: Auch bei a) sind immer noch Fehler drin, vorwiegend Vorzeichen betreffend. unglücklich

unglücklich

Hauptproblem scheint zu sein, dass du wiederholt Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ mit Linearfaktor $\begin{eqnarray*} (x+x_0) \end{eqnarray*}$ identifizierst, was falsch ist: Tatsächlich ist das $\begin{eqnarray*} (x-x_0) \end{eqnarray*}$ .

Demgemäß lautet die Lösung bei a) auch nicht $\begin{eqnarray*} f(x) \stackrel{?}{=} -x(x-2)(x+3)(x+2) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} f(x) = x(x-2)(x-3)(x+2) \end{eqnarray*}$ .

18.11.2013, 17:12

Duinne

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RE: Nullstellen, Faktorisieren von Polynomen
Ich habe das denke ich nicht verstanden, dass wenn ich eine Nullstelle x=3 herausbekomme, warum ich dann den Faktor (x-3) bekomme. Das meintest du, oder?
Denn wenn ich eine Nullstelle x=-3 habe, dann heißt es (x+3).
Merkt man sich das einfach oder - und davon gehe ich aus - gibt es eine Erklärung dafür, die ich verstehe?

Sind c) und b) jetzt richtig?

Wie kann ich die Funktion k(x) erstellen?
Aus den Nullstellen kann man wieder die Faktoren basteln. Da hätten wir (x-2), (x-3) und einen Faktor für die doppelte Nullstelle 0. Eben haben wir die einfache Nullstelle 0 gehabt, das war ein x. Nun muss ich sie ja doppelt zählen. Ist es dann 2x?

18.11.2013, 20:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Duinne
Denn wenn ich eine Nullstelle x=-3 habe, dann heißt es (x+3).

So muss es ja auch sein, denn schließlich ist $\begin{eqnarray*} x-(-3)=x+3 \end{eqnarray*}$ .

19.11.2013, 08:32

klarsoweit

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RE: Nullstellen, Faktorisieren von Polynomen

Zitat:

Original von Duinne
b)
$\begin{eqnarray*} f^{*}(x)=(x^{3}+64)/(x+4)=x^{2}-4x+16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3}=\frac{4}{3}\pm j\cdot \sqrt{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2,3}=\frac{4}{3}\pm j\cdot \sqrt{12} \end{eqnarray*}$ sollen also Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^2-4x+16 \end{eqnarray*}$ sein. Da machen wir also mal die Probe:

$\begin{eqnarray*} x_2^2 -4 x_2 + 16 = \frac{16}{9} + \frac 8 3 \cdot j \cdot \sqrt{12} - 12 - \frac{16}{3} - 4 \cdot j\cdot \sqrt{12} + 16 = - \frac{32}{9} + 4 - j \cdot \frac 4 3 \cdot \sqrt{12} \end{eqnarray*}$

Hm, also Null kommt da nicht raus.
(Aufgabe c ist richtig gelöst.)

Zitat:

Original von Duinne
Wie kann ich die Funktion k(x) erstellen?
Aus den Nullstellen kann man wieder die Faktoren basteln. Da hätten wir (x-2), (x-3) und einen Faktor für die doppelte Nullstelle 0. Eben haben wir die einfache Nullstelle 0 gehabt, das war ein x. Nun muss ich sie ja doppelt zählen. Ist es dann 2x?

Wie so häufig hilft ein Blick in die Definition: die Vielfachheit einer Nullstelle x_0 ist der Exponent von dem Linearfaktor (x - x_0). Bei der Vielfachheit m haben wir also den Faktor $\begin{eqnarray*} (x - x_0)^m \end{eqnarray*}$ .

19.11.2013, 22:48

Duinne

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RE: Nullstellen, Faktorisieren von Polynomen
a) $\begin{eqnarray*} f(x)=x(x+2)(x-2)(x-3) \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} x_{2,3}=\frac{4}{2}\pm j\cdot \sqrt{12} \end{eqnarray*}$
Komisch, dass ich da eine drei zu stehen habe. pq-Formel sieht ja schließlich anders aus.

Für k(x) habe ich jetzt schon mal:

$\begin{eqnarray*} k(x)=x^{2}\left(x-2\right)\left(x-3\right) \end{eqnarray*}$

Nun soll die Funktion an der Stelle 1 den Funktionswert 14 annehmen.
Wenn ich die ausmultipliziere und für x=1 rechne, komme ich auf 2. Da fehlen also noch 12. Deshalb

$\begin{eqnarray*} k(x)=x^{4}-5x^{3}+6x^{2}+12 \end{eqnarray*}$

Habe ich mir das richtig zusammengedacht?

20.11.2013, 09:06

klarsoweit

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RE: Nullstellen, Faktorisieren von Polynomen

Zitat:

Original von Duinne
$\begin{eqnarray*} k(x)=x^{4}-5x^{3}+6x^{2}+12 \end{eqnarray*}$

Habe ich mir das richtig zusammengedacht?

Das Problem ist nur, daß du damit deine Nullstellen über den Haufen geworfen hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.11.2013, 14:13

Duinne

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RE: Nullstellen, Faktorisieren von Polynomen
Japp, das stimmt wohl. Deshalb habe ich mir nun Folgendes überlegt:

$\begin{eqnarray*} ax^{2}(x-2)(x-3) \end{eqnarray*}$

P(1|14) einsetzen

$\begin{eqnarray*} 14=a\cdot 1^{2}(1-2)(1-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k(x)=7x^{2}(x-2)(x-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k(x)=7x^{4}-35x^{3}+42x^{2} \end{eqnarray*}$

Aufgabe b)

Zuerst habe ich die Nullstellen des Terms im Zähler und im Nenner ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} 0=x+2 \Rightarrow x_{1}=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=x^{2}+3x+2\Rightarrow x_{2}=-1, x_{3}=-2 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} x_{1}=x_{3}=-2 \end{eqnarray*}$ ist das eine hebbare Definitonslücke.
Die -1 müsste ein Pol sein, da der Nenner damit eingesetzt 0 ergibt.

Das heißt,

$\begin{eqnarray*} D=\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\neq -2 \end{eqnarray*}$

20.11.2013, 14:50

klarsoweit

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RE: Nullstellen, Faktorisieren von Polynomen

Zitat:

Original von Duinne
Das heißt,

$\begin{eqnarray*} D=\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\neq -2 \end{eqnarray*}$

Die -1 mußt du natürlich auch ausschließen.

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