Ordnung Gruppenhomomorphismus

18.11.2013, 16:57	ErikHermann	Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnung Gruppenhomomorphismus Meine Frage: Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Sei $\begin{eqnarray} \alpha : (G,\cdot)\rightarrow (H,) \end{eqnarray}$ ein Gruppenhomomorphismus. Zeige: (1) Ist $\begin{eqnarray} o(g)<\infty \end{eqnarray}$ so ist o(g) ein Vielfaches von $\begin{eqnarray} o(\alpha (g)) \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist genau dann injektiv, wenn $\begin{eqnarray} o(g)=o(\alpha (g)) \end{eqnarray}$ für alle g gilt. Dabei ist $\begin{eqnarray} o(g)=\|\langle g \rangle\| \end{eqnarray}$ . Meine Ideen:* Zur 1: Hier fehlt es mir an Ideen... wie gehe ich da ran? Muss/kann ich da die Definition eines Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray} \alpha (g\cdot h)=\alpha (g)\alpha (h) \end{eqnarray}$ benutzen? Wenn ja, wie? Zur 2: Ich würde hier mit dem Kriterium zur Injektivität $\begin{eqnarray} Ker(\alpha )=e_{G} \end{eqnarray*}$ arbeiten. Komme ich damit weiter? Vielen Dank für die Antwort!
18.11.2013, 18:57	ErikHermann	Auf diesen Beitrag antworten »
Idee :) Hallo zusammen, zur (1) ist mir nun ein Durchbruch gelungen Sei $\begin{eqnarray} o(g)=n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} o(\alpha (g))=m \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \alpha (g)^{n}=\alpha (g^{n})=\alpha (e_{G})=e_{H} \end{eqnarray}$ . Somit ist $\begin{eqnarray} m\leq n \end{eqnarray}$ . Wir zeigen nun, dass n ein Vielfaches von m ist: Dazu teilen wir n mit Rest durch m, also $\begin{eqnarray} n=km+r \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0\leq r<m \end{eqnarray}$ . Es gilt: $\begin{eqnarray} e_{H}=\alpha(g^{n})=\alpha(g^{m})^{k} \cdot \alpha(g)^{r}=e_{H}^{k}\cdot \alpha(g)^{r}=g^{r}. \end{eqnarray}$ Da m aber die kleinste ganze Zahl ungleich 0, für die $\begin{eqnarray} g^{m}=e_{H} \end{eqnarray}$ ist, muss r=0 sein. Somit ist $\begin{eqnarray} o(g) \end{eqnarray}$ ein Vielfaches von $\begin{eqnarray} o(\alpha(g)) \end{eqnarray}$ . Stimmt das soweit? Bleibt noch (2). Ich denke mal, dass es da kein großer Sprung mehr ist... ich bin wahrscheinlich einfach zu blöd, das offensichtliche zu sehen. Zeigt mir jemand, wo ich das in meiner Argumentation finde?
18.11.2013, 20:09	ErikHermann	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir fällt gerade ein Fehler auf: $\begin{eqnarray} e_{H}=\alpha(g^{n})=\alpha(g^{m})^{k}%20\cdot%20\alpha(g)^{r}=e_{H}^{k}\cdot%20\alpha(g)^{r}=g^{r} \end{eqnarray}$ muss $\begin{eqnarray} e_{H}=\alpha(g)^{n}=(\alpha(g)^{m})^{k}%20\cdot%20\alpha(g)^{r}=e_{H}^{k}\cdot%20\alpha(g)^{r}=\alpha(g)^{r} \end{eqnarray}$ heißen. Ich hoffe, das stimmt jetzt so...? Wäre nett, mal eine Antwort zu bekommen
18.11.2013, 22:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
passt. an (2) kannst du auch direkt herangehen: Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ injektiv ist, überlege was - mit der Voraussetzung - aus $\begin{eqnarray} \alpha(g)=e \end{eqnarray}$ für die Ordnung von g folgt.

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