Newtonverfahren, Winkel berechnen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte

18.11.2013, 16:59

Duinne

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Newtonverfahren, Winkel berechnen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe hier eine Aufgabenstellung, bei der ich schon am Anfang hänge:

Bestimmen Sie näherungsweise mit Hilfe des Newtonverfahrens eine Nullstelle der Funktion f, indem Sie
a) zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} x_{0}=0 \end{eqnarray*}$ die Konvergenzbestimmung erfüllt ist und
b) einen Iterationsschritt mit der Anfangsnäherung $\begin{eqnarray*} x_{0}=0 \end{eqnarray*}$ durchführen.
Unter welchem Winkel alpha schneidet die Tangente an f an der Stelle x =0 die x-Achse? Bestimmen Sie soweit vorhanden von f Hoch und Tiefstellen sowie Wendepunkte.

Meine Ideen:
a)Für das Konvergenzverhalten muss

$\begin{eqnarray*} \frac{f(0)\cdot f^{''}(0) }{\left[f^{'}(0) \right]^{2} } \end{eqnarray*}$

kleiner 1 sein.
Dazu benötige ich allerdings erstmal die Ableitungen.
Leitet man von innen nach außen ab oder anderes herum? Und ist

$\begin{eqnarray*} f'(x)=ln(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

richtig?

Danke und Gruß
Duinne

18.11.2013, 17:04

10001000Nick1

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RE: Newtonverfahren, Winkel berechnen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte

Zitat:

Original von Duinne
$\begin{eqnarray*} f'(x)=ln(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

geschockt

Wieso ist ln(x)=1/x ?

Wie lautet denn überhaupt die Funktion f?

18.11.2013, 17:38

Duinne

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RE: Newtonverfahren, Winkel berechnen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte
Ach herje, die habe ich ganz vergessen:

$\begin{eqnarray*} ln(1+sin(x))-0,5 \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} -\frac{\pi }{2}<x<\frac{3\pi }{2} \end{eqnarray*}$

Die Ableitung vom Logarithmus ist mir irgendwie nicht klar.

18.11.2013, 17:42

10001000Nick1

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Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist $\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x}(\ln(x))=\frac{1}{x}. \end{eqnarray*}$

18.11.2013, 18:59

Duinne

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RE: Newtonverfahren, Winkel berechnen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte
Vielen Dank für deine Antwort!
Aber ich verstehe es noch nicht. Wie muss ich bei der Ableitung vorgehen? Kannst du mir das erklären?

18.11.2013, 19:01

10001000Nick1

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Um $\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(1+\sin(x))-0,5 \end{eqnarray*}$ abzuleiten, benutzt du einfach die Kettenregel. Weißt du, wie du die anwenden musst?

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18.11.2013, 19:20

Duinne

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RE: Newtonverfahren, Winkel berechnen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte
Also die Kettenregel

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u(x)=1+sin(x) \end{eqnarray*}$ , innere Funktion

$\begin{eqnarray*} F(u)=ln(u)-0,5 \end{eqnarray*}$ , äußere Funktion

Ich weiß nur nicht, wie ich das jetzt da einsetzen soll =(

18.11.2013, 19:22

10001000Nick1

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Das ist richtig.
Und jetzt bestimmst du die Ableitung der äußeren bzw. inneren Funktion.

18.11.2013, 19:49

Duinne

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RE: Newtonverfahren, Winkel berechnen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte
Okay:

$\begin{eqnarray*} u'(x)=cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F'(u)=\frac{1}{u}=\frac{1}{1+sin(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(x)=cos(x)\cdot \frac{1}{1+sin(x)}=\frac{cos(x)}{1+sin(x)} \end{eqnarray*}$

So?

18.11.2013, 19:52

10001000Nick1

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Ja, die Ableitung stimmt.

18.11.2013, 20:16

Duinne

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RE: Newtonverfahren, Winkel berechnen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte
Für die zweite Ableitung habe ich jetzt Folgendes gerechnet:

$\begin{eqnarray*} y''(x)=\frac{-sin(x)\cdot sin(x)-cos(x)\cdot cos (x)}{(1+sin(x))^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y''(x)=\frac{-sin{2}x^{2}-cos^{2}x^{} }{1+2sin(x)+sin^{2}x^{2} } \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig? Falls ja, dann komme ich hier jetzt nicht weiter =(

18.11.2013, 20:22

10001000Nick1

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Der erste Summand im Zähler stimmt nicht.

18.11.2013, 20:29

Duinne

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$\begin{eqnarray*} y''(x)=\frac{-sin^{2}x^{2}-cos^{2}x^{2} }{1+2sin(x)+sin^{2}x^{2} } \end{eqnarray*}$

18.11.2013, 20:30

10001000Nick1

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Nein. Du wendest offenbar die Quotientenregel falsch an.

18.11.2013, 20:44

Duinne

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Der erste Summand ist doch u'*v,oder?

Dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} y''(x)=\frac{-(sin^{2}x^{2})-cos^{2}x^{2} }{1+2sin(x)+sin^{2}x^{2} } \end{eqnarray*}$

18.11.2013, 20:52

10001000Nick1

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Und was ist bei dir $\begin{eqnarray*} u'\cdot v? \end{eqnarray*}$

Edit: ich muss jetzt weg, wir können dann morgen weitermachen. Gute Nacht! Schläfer

Schläfer

21.11.2013, 10:17

Duinne

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RE: Newtonverfahren, Winkel berechnen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte
$\begin{eqnarray*} y''=-\frac{1}{sin(x)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'''=\frac{cos(x)}{\left(sin\left(x\right)+1 \right) ^{2} } \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?

Gruß
Duinne

21.11.2013, 12:16

10001000Nick1

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Ja, das stimmt. Freude

Freude

21.11.2013, 13:28

Duinne

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Für das Konvergenzverhalten habe ich nun Folgendes gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(0)\cdot f''(0)}{\left[f'\left(0\right) \right] ^{2} }=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Da das Ergebnis kleiner 1 ist, ist die Funktion konvergent.

b)

$\begin{eqnarray*} x_{1}=x_{0}- \frac{f\left(x_{0} \right) }{f'\left(x_{0} \right) }=0-\frac{f\left(0\right) }{f'\left(0 \right) }=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Ich bin mir nicht ganz sicher, wie man die Aufgabenstellung verstehen soll. Ist ein Iterationsschritt das, was ich jetzt gerechnet habe, oder muss ich noch weiter rechnen?

Grüße
Duinne

21.11.2013, 15:15

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Duinne
Für das Konvergenzverhalten habe ich nun Folgendes gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(0)\cdot f''(0)}{\left[f'\left(0\right) \right] ^{2} }=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Ich komme da auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}. \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Dein Iterationsschritt stimmt. Ich denke mal, mehr musst du da nicht machen. In der Aufgabenstellung steht ja, dass du nur einen Iterationsschritt machen sollst.

21.11.2013, 19:00

Duinne

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RE: Newtonverfahren, Winkel berechnen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte
Du hast natürlich recht, ich habe das - vor dem Bruch vergessen...

Nun soll ich auch noch die Hoch-, Tief- und Wendepunkte berechnen. Und den Winkel an der Stelle x=0.

Für den Winkel:

$\begin{eqnarray*} f'(0)=\frac{cos(0)}{1+sin(0)}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tan^{-1}\left(1\right) =45° \end{eqnarray*}$

Für Maxima und Minima wird die erste Ableitung gleich 0 gesetzt. Und da hängt es beimir gerade:

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{cos(x)}{1+sin(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin(x)+1=cos(x) \end{eqnarray*}$

Wie kann ich denn nun nach x auflösen? Kannst du mir einen Ansatz geben?

Vielen, vielen Dank schon mal für deine Hilfe bisher!

Grüße
Duinne

21.11.2013, 19:04

10001000Nick1

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RE: Newtonverfahren, Winkel berechnen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte

Zitat:

Original von Duinne
Für Maxima und Minima wird die erste Ableitung gleich 0 gesetzt. Und da hängt es beimir gerade:

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{cos(x)}{1+sin(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin(x)+1=cos(x) \end{eqnarray*}$

Guck dir diese Umformung nochmal an: Bist du dir da gaaanz sicher? Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.11.2013, 21:15

Duinne

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RE: Newtonverfahren, Winkel berechnen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte
Ach, ich bin so doof. Ist doch schon zu spät... Aber schön, wie du gefragt hast Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} 0\cdot (1+sin(x))=cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2}\pi \end{eqnarray*}$

Um zu entscheiden, ob Maxima oder Minima, setzt man den Wert in die 2. Ableitung.

$\begin{eqnarray*} f''\left(\frac{1}{2}\pi \right) =\frac{1}{sin\left(\frac{1}{2}\pi \right)+1 }=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Da der Wert größer 0 ist, ist $\begin{eqnarray*} P=\left(\frac{1}{2}|0,193 \right) \end{eqnarray*}$ ein Maxima.

Da die Funktion eine Sinusfunktion ist, hat die Kurve ziemlich viele Hochpunkte. Wie komme ich denn jetzt die Maximas für das angegebene Intervall raus?
Und wie komme ich auf die Minima?

relative Maxima $\begin{eqnarray*} x_{k}=\frac{\pi }{2}+k\cdot 2\pi \end{eqnarray*}$
relative Minima $\begin{eqnarray*} x_{k}=\frac{3 }{2}\pi +k\cdot 2\pi \end{eqnarray*}$

Ichweiß nur nicht so recht, wie ich das jetzt auf meine Funktion anwenden kann. Kannst du mir hier helfen?

Für den Wendepunkt muss die 2. Ableitung null gesetzt werden.

$\begin{eqnarray*} 0=-\frac{1}{sin\left(x\right)+1 } \end{eqnarray*}$

Da kommt

$\begin{eqnarray*} 0\neq -1 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Würde doch eigentlich bedeuten, dass es keine Wendepunkte gibt, oder?

22.11.2013, 13:31

10001000Nick1

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RE: Newtonverfahren, Winkel berechnen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte

Zitat:

Original von Duinne
$\begin{eqnarray*} 0\cdot (1+sin(x))=cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2}\pi \end{eqnarray*}$

Du solltest da lieber gleich $\begin{eqnarray*} x=k\pi-\frac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ schreiben.

Jetzt musst du aber noch gucken, dass an diesen Stellen nicht auch noch der Nenner der ersten Ableitung Null wird. Die Lösungen von $\begin{eqnarray*} 1+\sin(x)=0 \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} x=2\pi n-\frac{\pi}{2}, n \in\mathbb{N}. \end{eqnarray*}$

D.h. diese Werte darf x nicht annehmen.

Welche Zählernullstellen bleiben dann noch übrig?

22.11.2013, 16:25

Duinne

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RE: Newtonverfahren, Winkel berechnen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte
Ohje, das verstehe ich jetzt nicht.

Wo kommt denn jetzt

$\begin{eqnarray*} x=k\pi-\frac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

her?Ist das die Angabe für die Maxima?

Und was ist das für eine Gleichung?

$\begin{eqnarray*} x=2\pi n-\frac{\pi}{2}, n \in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$
Hast du da irgendetwas eingesetzt?

23.11.2013, 12:03

Duinne

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RE: Newtonverfahren, Winkel berechnen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte
Sag mal, für die Aufgabenstellung würde doch theoretisch der eine Hochpunkt reichen, oder?

Da ja das Intervall

$\begin{eqnarray*} -\frac{\pi }{2}<x<\frac{3\pi }{2} \end{eqnarray*}$

angegeben ist, liegt nur der Hochpunkt

$\begin{eqnarray*} P=\left(\frac{\pi }{2}|0,193 \right) \end{eqnarray*}$

in diesem Bereich.
Was natürlich nichts daran ändert, dass ich diese periodische Angabe verstehen muss. Ich wäre froh, wenn du mir dazu noch einen Denkanstoß geben könntest.
Für die Nullstelle im Zähler gibt es nur eine, oder?

$\begin{eqnarray*} 0=cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe allerdings nicht, warum der Nenner die x-Werte

$\begin{eqnarray*} x=2\pi n-\frac{\pi}{2}, n \in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

nicht annehmen darf. In der ersten Ableitung darf

$\begin{eqnarray*} x\neq -\frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

sein.

23.11.2013, 16:59

10001000Nick1

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RE: Newtonverfahren, Winkel berechnen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte

Zitat:

Original von Duinne
Wo kommt denn jetzt

$\begin{eqnarray*} x=k\pi-\frac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

her?

Das sind die Nullstellen des Zählers der ersten Ableitung.

Zitat:

Original von Duinne
Und was ist das für eine Gleichung?

$\begin{eqnarray*} x=2\pi n-\frac{\pi}{2}, n \in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Oh, ich hatte mich da verschrieben: Es natürlich $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ heißen.
Das sind die Nullstellen des Nenners der ersten Ableitung. Diese Werte darf x nicht annehmen, denn sonst hättest du im Nenner 0.

Steht das Intervall in der Aufgabenstellung? Davon hattest du bis jetzt noch gar nichts gesagt.

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