Binomiallehrsatz

18.11.2013, 19:20	Bohne	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomiallehrsatz Meine Frage: Hallo Matheteam, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter. Sei $\begin{eqnarray} \mathbb N_{0}= \left\{0,1,2,...\right\}. \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass für beliebige natürliche Zahlen n,v Element N gilt $\begin{eqnarray} \sum\limits_{m=0}^n \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \\ v \end{pmatrix} (-1)^{n-m}=\sum\limits_{m=0}^n \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m \\ v \end{pmatrix}(-1)^{m-v} \end{eqnarray}$ = 0 für n ungleich v und 1 für n gleich v. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \frac{1}{k!}x\left(x-1\right)...\left(x-k+1\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x^{n}=\left(x\pm 1\mp 1\right)^{n} \end{eqnarray}$ in Potenzen von $\begin{eqnarray} x\pm 1 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \left(x\pm 1\right)^{m} \end{eqnarray*}$ Ich würde ich mich über hilfreiche Antworten freuen.
19.11.2013, 17:09	DrummerS	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomiallehrsatz Hi Bohne, kann zu deinem Ansatz leider nicht viel sagen. Ich würde da folgendermaßen rangehen (weiß jedoch nicht, ob es richtig ist): $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ in Fakultäten-Schreibweise darstellen. Um kein Gültigkeitsproblem zu erhalten, da Fakultäten nur für positiv ganzzahlige Zahlen definiert sind, sind für n = v die einzig erlaubbaren Kombinationen m = n = v = 1 und m = n = v = 0. Bei dir auch? $\begin{eqnarray} (-1)^{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (-1)^{-v} = (-1)^{v} \end{eqnarray}$ zur besseren Übersicht vor die jeweilge Summe ziehen Dann wäre $\begin{eqnarray} \sum\limits_{m=0}^n \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m \\ v \end{pmatrix} (-1)^{n-m}=\sum\limits_{m=0}^n \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m \\ v \end{pmatrix}(-1)^{m-v} = 1 \end{eqnarray}$ Kommt das hin?
19.11.2013, 17:41	Bohne	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Drummer... Zuerst dachte ich mir, dass das zu "trivial" sei, aber stimmt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}=\frac{n!}{({n-m})!m!} \end{eqnarray}$ und (n-m)!>0, somit muss natürlich n $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ m sein. Ich hörte nämlich, dass man das auch irgendwie mit Potenzen und Koeffizientenvergleich machen könnte. m,n und v können meines Erachtens dann jede Zahl oberhalb von null annehmen, damit das Ergebnis eins ist.
19.11.2013, 18:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
1.Tipp: Es gilt die Umformung $\begin{eqnarray} \binom{n}{m} \binom{m}{v} = \begin{cases} \displaystyle\frac{n!}{v!(m-v)!(n-m)!} = \binom{n}{v} \binom{n-v}{m-v} & \;\mbox{für}\; v\leq m\leq n \\[1.5em] 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ . Bei der zweiten Zeile ist die allgemeinere Definition des Binomialkoeffizienten zu beachten. 2.Tipp: Binomischer Satz

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