Maß zeigen

18.11.2013, 22:06

Gnus

Maß zeigen

Guten Abend!

Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?

Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb R^{d} \end{eqnarray*}$ eine diskrete Menge, dh. A habe keinen Häufungspunkt. Sei $\begin{eqnarray*} m : A \rightarrow [0,\infty) \end{eqnarray*}$ eine Funktion. Man zeige: $\begin{eqnarray*} \mu(Q):=\sum\limits_{p\in A\cap Q} m(p) \end{eqnarray*}$ ist ein Quadermaß.

Definition Quadermaß:
Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Menge aller Quader im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{d} \end{eqnarray*}$ . Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \mu: X \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt monoton, falls $\begin{eqnarray*} \mu(Q)\leq \mu(Q') \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} Q\subset Q' \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ heißt additiv falls für $\begin{eqnarray*} Q\cap Q'=\emptyset \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Q\cup Q' \in X \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \mu( Q\cup Q' )=\mu(Q)+\mu(Q') \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ heißt regulär, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon>0 \forall Q \in X \exists Q'\in X, Q' \text{ offen}, Q\subset Q' \text{ und }\mu(Q')\leq \mu(Q)+\varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Eine monotone, additive und reguläre Abbildung $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ heißt Quadermaß.

Ich habe den Hinweis:
Beim Nachweis der Regularität dürfen Sie sich auf $\begin{eqnarray*} d=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q=(a,b) \times [c,d] \end{eqnarray*}$ beschränken.

Meine Ansätze:
Die Monotonie und Additivität habe ich hinbekommen, es geht also nur noch um die Regularität.
Hier ist mir klar, dass ich eine von Epsilon abhängige Menge Q' angeben muss, welche die obigen Bedingungen erfüllt.
Hierfür habe ich folgendes betrachtet:

$\begin{eqnarray*} \mu(Q')-\mu(Q)=\sum\limits_{p\in A\cap Q'} m(p) -\sum\limits_{p\in A\cap Q} m(p) = \sum\limits_{p\in A\cap (Q' \backslash Q)} m(p) \end{eqnarray*}$

Ich muss nun Q' so konstruieren, dass diese Summe kleiner gleich Epsilon ist. Ich weiß aber nicht wie ich das machen soll.
Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen würde.

Liebe Grüße

19.11.2013, 17:03

Gnus

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RE: Maß zeigen
Niemand eine Idee?

19.11.2013, 20:15

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RE: Maß zeigen
In $\begin{eqnarray*} [a,b]\times[c-1,c] \end{eqnarray*}$ liegen nur endlich viele Elemente von A

19.11.2013, 20:29

Gnus

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RE: Maß zeigen
Hallo URL und danke für deine Antwort!

Zitat:

In $\begin{eqnarray*} [a,b]\times[c-1,c] \end{eqnarray*}$ liegen nur endlich viele Elemente von A

Kannst du mir das etwas genauer erklären?
Wieso gilt dies? Weil A diskret ist?

Wieso hilft mir das weiter? Die Summe würde somit endlich werden, aber der von dir genannte Quader ist doch garnicht offen.

MfG

19.11.2013, 20:48

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RE: Maß zeigen
kompakt und diskret sind die beiden Stichwörter.

Zitat:

Original von Gnus
Wieso hilft mir das weiter? Die Summe würde somit endlich werden, aber der von dir genannte Quader ist doch garnicht offen.

Du wolltest eine Idee Big Laugh

Wenn das nicht reicht, dann noch das $\begin{eqnarray*} Q=(a,b)\times[c,d]\subset(a,b)\times(c-c',d+d') \end{eqnarray*}$
c' und d' muss man so wählen, dass nicht zu viele Punkte von A dazu kommen.
Jetzt klarer, warum ich den Streifen $\begin{eqnarray*} [a,b]\times[c-1,c] \end{eqnarray*}$ betrachte? (den man natürlich noch schmaler machen kann...)
Edit: Ich sollte vielleicht besser sagen, dass man den Streifen flacher machen kann.

19.11.2013, 21:00

Gnus

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RE: Maß zeigen

Zitat:

Wenn das nicht reicht, dann noch das $\begin{eqnarray*} Q=(a,b)\times[c,d]\subset(a,b)\times(c-c',d+d') \end{eqnarray*}$

Die Anschauung ist mir klar, dass die letzte Summe gegen Null geht, umso weniger Schnittpunkte mit A wir hinzufügen.
Ich habe schon probiert für c' und d' Epsilon einzusetzen, kam dann aber nicht weiter.

Die obige Mengeninklusion ist mir klar, allerdings nicht, was der Streifen mir nützt, da er nicht Q enthält.
Auch könnte der Streifen ja mehr Schnittpunkte mit A haben, als Q selbst.

19.11.2013, 21:06

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RE: Maß zeigen
Wenn $\begin{eqnarray*} [a,b]\times[c-1,c] \end{eqnarray*}$ nur endl viele Punkte von A enthält, dann gilt das auch für $\begin{eqnarray*} (a,b)\times(c-1,c) \end{eqnarray*}$ .
Diese endlich vielen Punkte haben einen positiven Abstand von Q.
Jetzt musst du den Streifen nur flach genug machen und erwischst überhaupt keinen Punkt von A mehr.
Diesen schmalen Streifen klebst du an Q, machst das analog am "Deckel" von Q und bist fertig.

19.11.2013, 22:11

Gnus

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RE: Maß zeigen
Ich danke dir ganz herzlich für deine Hilfe.

Jetzt verstehe ich es.

Für die oberer Seite des Quaders Q basteln wir uns also den Streifen $\begin{eqnarray*} (a,b) \times (c,d+1) \end{eqnarray*}$ .
Wir ersetzen 1 durch $\begin{eqnarray*} z>0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt für z klein genug, dass die Schnitte unserer zwei Streifen mit A jeweils leer sind.

Wir vereinigen unsere zwei Streifen mit Q und erhalten Quader Q' offen, welcher Q enthält. Für z klein genug gilt dann $\begin{eqnarray*} Q'\cap A=Q\cap A \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \mu(Q')-\mu(Q)=0<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Korrekt?

19.11.2013, 22:13

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RE: Maß zeigen
So war die Idee Freude

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