Nabla Operator Komplexe Funktion

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19.11.2013, 08:28	woegman	Auf diesen Beitrag antworten »
Nabla Operator Komplexe Funktion Hi, definiert ist die elektrische Feldstärke als $\begin{eqnarray} \vec{E}(\vec{r} ,t) = Re[\vec{E}(\vec{r})e^{jwt}] \end{eqnarray}$ und die magnetische Flussdichte als $\begin{eqnarray} \vec{B}(\vec{r} ,t) = Re[\vec{B}(\vec{r})e^{jwt}] \end{eqnarray}$ . Der Zusammenhang $\begin{eqnarray} nabla \times \vec{E}(\vec{r} ,t) = -d/dt \vec{B}(\vec{r} ,t) \end{eqnarray}$ soll nun mit den entsprechenden Realteilen gebildet werden. Aus $\begin{eqnarray} Re[z] = 0,5(z+z^{} ) \end{eqnarray}$ komme Ich dann auf $\begin{eqnarray} 0,5(e^{jwt} nabla \times \vec{E(\vec{r})} + e^{-jwt} nabla \times \vec{E^{})} = 0,5(-jw\vec{B}(\vec{r})e^{jwt} + jw\vec{B^{}}(\vec{r})e^{-jwt} ) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \vec{E}(\vec{r}), \vec{B}(\vec{r}) \end{eqnarray}$ auch komplexe Zahlen sind, Ich aber in Late nicht den _ gefunden habe. Könnt ihr mit helfen, wie man das weiter vereinfacht? Irgendeine Identität, eine Vereinfachung, eine Rechenregel, irgendwas muss Ich übersehen haben Vielen Dank, Lg, Michael
19.11.2013, 09:25	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nabla Operator Komplexe Funktion Herzlich willkommen im Matheboard! Vielleicht machst Du Dir das Leben zu schwer. Den Realteil von $\begin{eqnarray} r \cdot e^{i \cdot \varphi} \end{eqnarray}$ kann man doch auch einfach als $\begin{eqnarray} r \cdot \cos \varphi \end{eqnarray}$ schreiben. Viele Grüße Steffen
19.11.2013, 09:57	woegman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nabla Operator Komplexe Funktion Hallo, danke für Deine Hilfe. das Problem ist, dass $\begin{eqnarray} \vec{r} \end{eqnarray}$ selbst komplex ist, also auch eine Aufspaltung in Real- und Imaginärteil bräuchte. Und dann hat man erst recht wieder einen umfassenden algebraischen Ausdruck. Lg, Michael
19.11.2013, 10:07	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nabla Operator Komplexe Funktion Vielleicht verstehe ich's ja auch falsch, aber wäre $\begin{eqnarray} \underline r \cdot e^{i \cdot \varphi} = (r \cdot \cos \alpha + i \cdot r \cdot \sin \alpha) \cdot e^{i \cdot \varphi} = (r \cdot \cos \alpha + i \cdot r \cdot \sin \alpha) \cdot ( \cos \varphi + i \cdot \sin \varphi) \end{eqnarray}$ so schlimm? Viele Grüße Steffen
19.11.2013, 10:18	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Induktionsgesetz lautet $\begin{eqnarray} rot(\vec E)=-\tfrac{\partial \vec B}{\partial t} \end{eqnarray}$ Die Felder lauten $\begin{eqnarray} \vec E=Re[(\vec E_1+i\vec E_2)\cdot (cos(\omega t)+i\sin(\omega t)]=\vec E_1\cos(\omega t)-\vec E_2\sin(\omega t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec B=Re[(\vec B_1+i\vec B_2)\cdot (cos(\omega t)+i\sin(\omega t)]=\vec B_1\cos(\omega t)-\vec B_2\sin(\omega t) \end{eqnarray}$ Setze diese Felder in das Induktionsgesetz ein und fasse zusammen.
19.11.2013, 11:26	woegman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Ich setze ein: $\begin{eqnarray} rot\vec{E} = -d/dt\vec{B} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \cos(wt) rot\vec{E1} - \sin(wt) rot\vec{E2} = \sin(wt)w\vec{B1} +\cos(wt)w\vec{B2} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \vec{E3} komplex = \vec{E1} +j\vec{E2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} rot\vec{E3} = rot\vec{E1} + jrot\vec{E2} \end{eqnarray}$ Nun multipliziere Ich beide seite mit j. Das bedeutet für die B Seite: $\begin{eqnarray} w(j\sin(wt) \vec{B1} +j\cos(wt)\vec{B2} \end{eqnarray}$ Für die "E" Seite: $\begin{eqnarray} j\cos(wt) rot\vec{E1} -j\sin(wt) rot\vec{E2} \end{eqnarray*}$ Und jetzt, kurz vor der Lösung, find Ich den Dreh nicht, wie Ich die Euler Identität nutze. Depp, Ich.
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19.11.2013, 12:06	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt zwei Möglichkeiten. Welche möchtest du berechnen? Variante 1: Entweder du möchtest die komplexen Felder $\begin{eqnarray} \vec E=(\vec E_1+i\vec E_2)\cdot [cos(\omega t)+i\sin(\omega t)] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec B=(\vec B_1+i\vec B_2)\cdot [cos(\omega t)+i\sin(\omega t)] \end{eqnarray}$ in das Induktionsgesetz $\begin{eqnarray} rot(\vec E)=-\tfrac{\partial \vec B}{\partial t} \end{eqnarray}$ einsetzen und erst danach den Realteil dieser Gleichung bilden. (Solche Rechnungen kommen in der Physik vor.) Variante 2: (=unsere bisherige Variante) Oder du bildest zuerst die Realteile der Felder. $\begin{eqnarray} \vec E=Re[(\vec E_1+i\vec E_2)\cdot (cos(\omega t)+i\sin(\omega t)]=\vec E_1\cos(\omega t)-\vec E_2\sin(\omega t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec B=Re[(\vec B_1+i\vec B_2)\cdot (cos(\omega t)+i\sin(\omega t)]=\vec B_1\cos(\omega t)-\vec B_2\sin(\omega t) \end{eqnarray}$ Erst danach setzt du die Felder in das Induktionsgesetz ein. Bei Variante 2 hast du reelle Felder ein. Dann wäre die Gleichung nach dem Einsetzen also rein reell. In diesem Falle verstehe ich deine letzte Rechnung nicht, wo du nach dem Einsetzen immer noch komplexe Felder hast. Warum multiplizierst du dort mit i, obwohl schon alles reell ist?
19.11.2013, 12:21	woegman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank für die bishergie Hilfe. Ich möchte auf den Ausdruck: $\begin{eqnarray} rot\vec{E3} = -jw\vec{B3} \end{eqnarray*}$ , gelangen. Deswegen die Zauberei mit der imaginären Einheit. Lg, Michael
19.11.2013, 12:35	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hättest die Aufgabe gleich zu Beginn präszise formulieren sollen, um diese Konfusion zu vermeiden. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Einsetzen der komplexen Felder $\begin{eqnarray} \vec E=(\vec E_1+i\vec E_2)\cdot e^{i\omega t} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec B=(\vec B_1+i\vec B_2)\cdot e^{i\omega t} \end{eqnarray}$ in das Induktionsgesetz $\begin{eqnarray} rot(\vec E)=-\tfrac{\partial \vec B}{\partial t} \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} rot(\vec E_1+i\vec E_2)\cdot e^{i\omega t}=-i\omega (\vec B_1+i\vec B_2)\cdot e^{i\omega t} \end{eqnarray}$ . Division durch den e-Faktor liefert das gewünschte zeitfreie (komplexe) Induktionsgesetz $\begin{eqnarray} rot(\underbrace{\vec E_1+i\vec E_2}_{\vec E_3})=-i\omega (\underbrace{\vec B_1+i\vec B_2}_{\vec B_3}) \end{eqnarray}$ .
19.11.2013, 12:45	woegman	Auf diesen Beitrag antworten »
Vieln Dank! Durch die Angabe des Realteils (in meinen Unterlagen) habe Ich mich komplett verwirren lassen. Den habe Ich dann erst für den komplexen Poynting-Vektor benötigt. Wenn man den Wald vor lauter Bäumen nicht erkennt! Lg, Michael

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