messbare Funktion und messbare Menge

19.11.2013, 11:19

steviehawk

messbare Funktion und messbare Menge

Meine Frage:
Hallo Leute,

wenn ich prüfen möchte, ob eine Funktion messbar ist, dann prüfe ich ja immer, ob das Urbild einer messbaren Menge (in der Regel $\begin{eqnarray*} (-\infty,t] \end{eqnarray*}$ ) messbar ist. Ich habe also die Menge: $\begin{eqnarray*} \{ f \leq t\} \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

Jetzt vielelicht doofe Frage. Wenn ich schon weiß, dass die Funktion messbar ist, dann weiß ich doch sofort, dass: $\begin{eqnarray*} \{ f \leq t\} \end{eqnarray*}$ messbar ist oder. Und wegen der Äquivalenz der ganzen Aussagen auch: $\begin{eqnarray*} \{ f< t\}, \{ f> t\} \end{eqnarray*}$ uws. )

Und dann auch so was explizites wie $\begin{eqnarray*} \{ f > 1\} \end{eqnarray*}$ , da es ja das Urbild der messbaren Menge: $\begin{eqnarray*} [1, \infty) \end{eqnarray*}$ ist, und diese ist (borel) messbar.

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe.

19.11.2013, 11:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
wenn ich prüfen möchte, ob eine Funktion messbar ist, dann prüfe ich ja immer, ob das Urbild einer messbaren Menge (in der Regel $\begin{eqnarray*} (-\infty,t] \end{eqnarray*}$ ) messbar ist.

einer ist natürlich das falsche Wort, aller $\begin{eqnarray*} {\color{red} (-\infty,t]} \end{eqnarray*}$ würde eher passen, in Bezug darauf, dass $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ die reellen Zahlen durchläuft. Grundlage dessen ist, dass das Mengensystem all dieser $\begin{eqnarray*} (-\infty,t] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ bereits ein Erzeugendensystem der Borel-Sigmaalgebra der reellen Zahlen bildet.

Der Rest ist inhaltlich in Ordnung, wobei es hier

Zitat:

Original von steviehawk
Und dann auch so was explizites wie $\begin{eqnarray*} \{ f > 1\} \end{eqnarray*}$ , da es ja das Urbild der messbaren Menge: $\begin{eqnarray*} [1, \infty) \end{eqnarray*}$ ist, und diese ist (borel) messbar.

natürlich nicht um das Urbild von $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ , sondern von $\begin{eqnarray*} (1,\infty) \end{eqnarray*}$ geht.

19.11.2013, 12:14

steviehawk

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Danke HAL

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